Политех в Сети

Сайт для Учебы

3.5. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Рейтинг пользователей: / 0
ХудшийЛучший 

В ранее рассмотренных линейных цепях напряжения и токи зависят только от времени. Это справедливо, если геометрические размеры цепи много меньше длины волны питающего тока. В ряде случаев это условие не выполняется. При этом напряжения и токи в цепи зависят не только от времени, но и от расстояния от генератора, на котором регистрируется сигнал. Это имеет место в случае длинных линий.

Линия считается длинной, если длина линии сравнима с длиной волны питающего тока , а расстояние между проводами значительно меньше длины волны . Конструктивно длинные линии бывают двухпроводные и однопроводные (один провод и земля или проводящая плоскость, которая выполняет роль второго провода). Наряду с воздушными линиями в радиоэлектронике широко применяются коаксиальные кабели, а в диапазоне СВЧ - волноводы. Длинные линии характеризуются четырьмя распределёнными по длине линии параметрами: активным сопротивлением, индуктивностью, ёмкостью и утечкой между проводами. Линия называется однородной, если эти параметры на единицу длины (погонные параметры) не зависят от координаты , т. е. остаются постоянными по длине линии. Длинная линия, в которой и называется длинной линией без потерь.

3.5.1. Длинная линия без потерь. Волновые уравнения.

Рассмотрим бесконечно малый отрезок длинной линии без потерь.

описание: рэ1

Рис.3.23.Эквивалентная схема отрезка лини без потерь

Приращение напряжения и тока на отрезке можно представить в виде дифференциалов:

, (3.116)

. (3.117)

Разделим эти приращения на :

, (3.118)

. (3.119)

Два последних выражения являются основными дифференциальными уравнениями линии без потерь. Частные производные обусловлены тем, что ток и напряжение зависят не только от времени, но меняются и по длине линии, т. е. зависят от координаты X.

Продифференцировав обе части первого уравнения по X и обе части второго уравнения по T, получим:

, (3.120)

. (3.121)

Подставляя (3.121) в (3.120), приходим к волновому уравнению для напряжения в линии:

. (3.122)

Дифференцируя уравнение (3.118) по , а уравнение (3.119) по , получим волновое уравнение для тока в линии:

, (3.123)

, (3.124)

. (3.125)

Волновые уравнения для напряжения и тока можно переписать в следующем виде:

, (3.126)

, (3.127)

Где - скорость распространения электромагнитной волны в линии.

Из волновых уравнений видно, что изменения напряжения и тока управляются совершенно одинаковыми закономерностями.

Решения волновых уравнений зависят от начальных и граничных условий. Решением волнового уравнения является любая функция вида:

, (3.128)

Где - дважды дифференцируемая функция.

Возьмем первую и вторую производные от по и по :

(3.129)

(3.130)

, (3.131)

. (3.132)

Подставим производные в волновое уравнение для напряжения:

. (3.133)

Уравнение обращается в тождество. Значит функция , является решением волнового уравнения для напряжения.

Решением волнового уравнения для тока будет функция .

Полные решения волновых уравнений имеют вид:

, (3.134)

. (3.135)

Функции связана с функцией следующим соотношением:

, (3.136)

Где

(3.137)

- волновое сопротивление линии.

Для линии без потерь волновое сопротивление равно отношению и является чисто активным сопротивлением.

Аналогично

(3.138)

следовательно,

. (3.139)

Таким образом, ток и напряжение в линии представлены в виде суммы прямой и обратной волн, распространяющихся по линии в противоположных направлениях со скоростью . Для воздушной линии эта скорость равна скорости света. В кабельных линиях скорость распространения значительно ниже скорости света. Линия без потерь передаёт волны без затухания и искажений. Эти волны называются бегущими. Итак, отличительное свойство систем с распределенными параметрами состоит в том, что ток и напряжение являются функциями двух переменных и , и описываются уравнениями в частных производных.

описание: рэ2

Рис.3.24. Прямая и обратная волна в длинной линии.

Если в каком-то сечении бесконечно длинной линии без потерь включить генератор напряжения, создающий импульс, то в линии будут распространяться две волны в противоположных направлениях, как показано на рис.3 .24.

Если в начале линии включить генератор гармонической э. д.с. , то напряжение в любом сечении линии также будет гармоническим, поэтому можно записать: и . С учетом этого волновое уравнение для напряжения можно записать в следующем виде:

, (3.140)

где - волновое число.

Решение дифференциального уравнения (3.140) имеет вид:

(3.141)

Второе слагаемое уравнения представляет собой прямую волну напряжения, распространяющуюся вдоль оси вправо от начала линии, а первое слагаемое – обратную волну напряжения, распространяющуюся в противоположном направлении. Постоянные A и B можно определить из граничных условий. При некоторых условиях обратная волна в линии будет отсутствовать. При этом решение уравнения будет представлено только одним слагаемым:

. (3.142)

Постоянную определим из граничного условия в начале линии

. (3.143)

Положив в (3.142) =0, получим и выражение для синусоидальной волны напряжения, распространяющейся от начала линии,

. (3.144)

На рис.3.25 изображены распределения напряжения в линии для двух моментов времени и .

описание: длиннаялинияволны

Рис.3.25. Напряжение в линии в два последовательных момента

За время волна пробегает путь . Длина волны . (3.145)

Фаза напряжения на расстоянии X от генератора определяется выражением

. (3.146)

3.5.2. Длинная линия с потерями. Телеграфные уравнения.

Рассмотрим отрезок Dx длинной линии с потерями, представленный на рис. 3.26, погонными параметрами которой являются .

описание: рэ4

Рис.3.26. Отрезок длинной линии с потерями.

Приращения напряжения и тока на отрезке линии Dx можно представить следующими дифференциальными уравнениями:

, (3.147)

. (3.148)

Разделив оба уравнения на , получим

, (3.149)

. (3.150)

Дифференцируя уравнение (3.149) по X, а уравнение (3.150) по T, получим:

, (3.151)

. (3.152)

Подставив (3.150) и (3.152) в (3.151), получим дифференциальное уравнение второго порядка, называемое телеграфным уравнением для напряжения:

. (3.153)

Это уравнение упрощается, если для его коэффициентов выполняется следующее условие, называемое условием Хевисайда:

. (3.154)

Это условие можно записать в другом виде:

. (3.155)

Отсюда следует:

. (3.156)

Подставив (3.156) в телеграфное уравнение (3.153), получим:

. (3.157)

Разделив (3.157) на , получим:

, (3.158)

где: - скорость распространения волны в линии.

Обозначив , получим:

. (3.159)

Введем новую переменную U0, положив . Найдём производные:

Подставив производные в (3.159), получим следующее уравнение для напряжения:

. (3.160)

Аналогичное уравнение может быть получено для тока.

Таким образом, при выполнении условия Хевисайда телеграфное уравнение приводится к волновому. Это означает, что в линии с потерями может распространяться волна любой формы без искажений. Отличие решения этого уравнения по сравнению с уравнениями для линии без потерь заключается в наличии множителя , с которым связаны U и U0, что означает затухание прямой и обратной волны. При выполнении условий Хевисайда затухание на высоких частотах минимально и равно затуханию на низких частотах. При несоблюдении условий Хевисайда передаваемые колебания сложной формы искажаются вследствие неодинакового затухания для разных частот и зависимости скорости распространения от частоты.

3.5.3. Коэффициент отражения.

Пусть на входе однородной линии с волновым сопротивлением , нагрузкой которой на конце является сопротивление , действует гармоническая э. д.с.

. (3.161)

Напряжение в любом сечении линии будет равно сумме падающей (прямой) и отраженной волн:

. (3.162)

Рис.3.27. К определению коэффициента отражения

Прямая и отраженная волны накладываются друг на друга и происходит их интерференция. Положим, что амплитуды напряжения прямой и обратной волн одинаковы. Тогда для прямой волны можно записать

, (3.163)

А для отраженной волны

. (3.164)

Результирующее напряжение равно

. (3.165)

Колебание, описываемое последним выражением, происходит по всей длине линии с одинаковой фазой, поскольку в множителе отсутствует зависящий от координаты фазовый сдвиг. Такая волна называется стоячей. Другим отличием стоячей волны от бегущей волны является то, что ее амплитуда зависит от координаты

. (3.166)

Места, где наблюдаются наибольшие значения амплитуды, называются пучностями, места наименьших значений амплитуды – узлами. Местоположение узлов и пучностей не зависит от времени: они неподвижны.

На рис.2.28 показаны прямая волна, отраженная волна и результирующая – стоячая волна.

описание: рэ3

Рис.3.28. Волны в линии.

В бегущей волне амплитуда колебаний постоянна, а в стоячей – она периодическая функция координаты.

В бегущей волне фаза колебаний есть линейная функция координаты, а в стоячей волне фаза постоянна на участке между двумя узлами. Вдоль всей линии фаза меняется периодически, принимая попеременно значения 0 и π.

Выясним количественные характеристики явления отражения, воспользовавшись волновым уравнением синусоидального режима

. (3.167)

Решение этого уравнения имеет вид:

. (3.168)

Как и в любом сечении линии напряжение на нагрузке равно

. (3.169)

На основании приведённого выше уравнения (3.116) следует:

. (3.170)

С другой стороны, дифференцируя выражение (3.168), получим:

. (3.171)

Подставим (3.171) в (3.170):

. (3.172)

Таким образом, на основании (3.169) и (3.172) имеем:

. (3.173)

. (3.174)

На нагрузке при (граничное условие):

(3.175)

Коэффициент отражения по напряжению равен отношению напряжения отраженной волны к напряжению прямой (падающей) волны.

(3.176)

Учитывая это, можно записать:

(3.177)

(3.178)

Анализируя выражение (3.178), можно рассмотреть 3 случая:

1.Линия, разомкнутая на конце.

В этом случае и коэффициент отражения равен

. (3.179)

Следовательно, от разомкнутого конца линии волна напряжения полностью отражается с тем же знаком, а волна тока полностью отражается с противоположным знаком. При этом напряжение на конце линии удваивается, а ток на конце линии равен нулю. В линии устанавливается режим стоячих волн.

2. Линия, замкнутая на конце.

В этом случае и коэффициент отражения

. (3.180)

От замкнутого конца линии волна полностью отражается с противоположным знаком. В результате напряжение на конце линии равно нулю, а ток удваивается. В линии также будет режим стоячих волн.

3. Линия нагружена на сопротивление, равное волновому сопротивлению, т. е.. При этом коэффициент отражения

. (3.181)

В этом случае отражение от нагрузки отсутствует, поскольку линия согласована и в линии устанавливается режим бегущих волн.

В общем случае, если линия нагружена на конечное сопротивление, не равное волновому сопротивлению, будет наблюдаться неполное отражение и коэффициент отражения будет меньше 1. В этом случае в линии имеет место наложение бегущей и стоячей волн.

Коэффициент отражения выражает отношение комплексных амплитуд отраженной и прямой волн и является комплексной величиной. Напряжение в пучности:

. (3.182)

Напряжение в узле:

. (3.183)

Отношение

(3.184)

называется коэффициентом бегущей волны.

Коэффициент отражения нельзя измерить непосредственно. Поэтому измеряют коэффициент стоячей волны напряжения КСВ, который равен:

. (3.185)

Коэффициент бегущей волны связан с коэффициентом стоячей волны:

. (3.186)

3.5.4. Входное сопротивление линии.

Ранее получены выражения для напряжения и тока линии в следующем виде:

, (3.187)

. (3.188)

Отношение напряжения к току в любом сечении линии равно

. (3.189)

При =0 найдем из этого выражения входное сопротивление линии

. (3.190)

Отношение определим из (3.189) при помощи граничного условия, задающего нагрузку на конце линии при :

. (3.191)

Из этого выражения

. (3.192)

Подставив (3.192) в (3.190), получим:

. (3.193)

Входное сопротивление линии – комплексная величина, зависящая от волнового сопротивления, длины линии и сопротивления нагрузки. Если линия разомкнута на конце, то и входное сопротивление равно

. (3.194)

Короткозамкнутая линия имеет входное сопротивление

. (3.195)

На рисунке изображены зависимости модулей входных сопротивлений от длины линии для разомкнутой и короткозамкнутой линии.

описание: входноесопротивлениедлиннойлинииописание: входноесопротивлениекздлиннойлинии

Рис2.29.Зависимость модуля входного сопротивления разомкнутой и короткозамкнутой на конце линии от длины линии

Входное сопротивление длинной линии является периодической функцией аргумента и, будучи реактивным, принимает все возможные значения от - до . Обращение входного сопротивления в нуль или бесконечность свидетельствует о наличии в линии резонансных явлений. В линии конечной длины возможно бесчисленное множество резонансов. При в линии наблюдается основной резонанс. При малых расстройках относительно резонансной частоты модуль входного сопротивления изменяется также, как у параллельного колебательного контура. Поэтому четвертьволновые отрезки линий используются в качестве колебательных контуров в дециметровом диапазоне.

Входное сопротивление четвертьволновой короткозамкнутой линии бесконечно велико. Это значит, что подключение такой линии к любой схеме не повлияет на работу схемы, то есть такая линия ведет себя как изолятор. Это позволяет смонтировать двухпроводный фидер – линию передачи электромагнитных колебаний от источника к потребителю на цельнометаллических четвертьволновых стойках, изолирующих оба провода друг от друга, как показано на рис. 3.30.

описание: четвертьволноваялиния

Рис.3.30.Четвертьволновые изоляторы:

1-фидер, 2 – металлические четвертьволновые изоляторы

3.5.5.Прямоугольный волновод

Прямоугольный волновод является длинной линией в диапазоне сверхвысоких частот. Прямоугольный волновод представляет собой полую трубу из проводящего материала, служащую для передачи энергии электромагнитной волны, распространяющейся внутри волновода. Если электрический и магнитный векторы И лежат в плоскости, нормальной к направлению линии, то имеется поток энергии, направленный вдоль линии, выражаемый вектором Пойнтинга:

. (3.196)

В основе теории волноводов лежат уравнения Максвелла. Для случая, когда диэлектрическая проницаемость ε=1, магнитная проницаемость μ=1 и проводимость σ=0 (это справедливо для воздуха и вакуума), можно записать уравнения Максвелла в векторной форме:

, (3.197)

, (3.198)

, (3.199)

, (3.200)

Где c – скорость света в вакууме.

Для установившегося синусоидального режима:

, (3.201)

. (3.202)

Найдем из уравнения (3.201):

, (3.203)

Где - волновое число.

Подставим значение в уравнение (3.202):

. (3.204)

Учитывая, что

(3.205)

И

, (3.206)

Получим:

. (3.207)

Аналогичное уравнение можно получить и для вектора напряженности магнитного поля:

. (3.208)

Уравнения (3.207) и (3.208) - это векторная форма волновых уравнений.

Для перехода от векторной формы уравнений к скалярной выберем прямоугольную систему координат: Будем рассматривать проекции электрического вектора на координатные оси. Каждая составляющая поля зависит от координат и от времени. Закон изменения каждой составляющей от времени выражается множителем . Опустив этот множитель, мы придадим величинам смысл комплексных амплитуд составляющих электрического поля.

Запишем уравнение (2.206) в виде трех уравнений для составляющих поля:

(3.209)

Решением этих уравнений являются функции трёх переменных . Будем искать решение в виде произведения трёх функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента:

. (3.210)

Это решение подставляется в уравнения (3.209) и эти уравнения интегрируются. В интегралы вводятся граничные условия.

Для выяснения граничных условий будем считать, что стенки волновода идеально проводят. Поэтому касательная составляющая вектора около самой стенки равна 0. То есть вектор должен быть нормален к стенке волновода на ее поверхности. Будем рассматривать волновод прямоугольного сечения.

описание: рэ5

Рис.3.31. к определению граничных условий

Граничные условия запишутся следующим образом:

=0 при , (3.211)

=0 при , (3.212)

=0 при и . (3.213)

Считаем, что волновод бесконечно длинный вдоль оси . При некоторых условиях вдоль оси может распространяться бегущая волна, которая выражается функцией

, (3.214)

где - постоянная распространения.

Функции и представляют зависимость амплитуды от координат точки в сечении волновода. Эти функции представляют собой волны, распространяющиеся поперек волновода, т. е. перпендикулярно к стенкам. Так как стенки бесконечно проводящие, то в направлении осей и могут существовать только стоячие волны. Для касательных составляющих на стенках получаются узлы, для нормальных – пучности. Исходя из этих представлений, можно записать для уравнений (3.209) решения вида (3.210), удовлетворяющие граничным условиям:

(3.215)

Где:

- постоянные, зависящие от условий возбуждения волновода;

и – любые положительные целые числа.

Найдём вторые производные :

.

Подставим производные в первое уравнение (3.209):

. (3.216)

Электромагнитная волна в волноводе будет распространяться без затуханий, если постоянная распространения будет мнимой. А это будет при условии:

(3.217)

Или

, (3.218)

Где - критическая частота.

При этом

. (3.219)

При постоянная распространения вещественна и волна будет затухать.

Итак, волновод обладает свойствами фильтра верхних частот: в нём распространяются без затухания волны с частотой выше некоторой граничной частоты . Граничная частота тем выше, чем меньше размеры волновода. В полосе прозрачности, т. е. при , постоянная распространения является мнимой величиной. Это значит, что вектор , не изменяя своей величины при распространении волны вдоль волновода, изменяется по фазе. Фазовый сдвиг равен

, (3.220)

Где - длина волны в волноводе.

Из предыдущего выражения следует, что

. (3.221)

Подставляя значение , получаем

. (3.222)

Так как ,

. (3.223)

Поскольку длина волны пропорциональна скорости распространения, то

. (3.224)

Отсюда скорость распространения волны в волноводе:

. (3.225)

Из этого выражения видно, что скорость распространения волны в волноводе всегда больше скорости света в открытом пространстве. Имеется ввиду фазовая скорость, то есть скорость перемещения в пространстве точек, в которых наблюдается определенная фаза колебаний, например максимум или ноль. Групповая скорость или скорость распространения энергии волны ни при каких обстоятельствах не может превзойти скорость света. Скорость распространения становится равной бесконечности при . Скорость распространения становится мнимой при . Это означает, что на частотах ниже критической частоты в волноводе имеется быстро затухающее по длине волновода колебание вектора . Зависимость фазовой скорости от частоты в физике называется дисперсией.

Критическая длина волны в волноводе равна:

. (3.226)

Граничная длина волны имеет порядок периметра сечения волновода. Поэтому волноводы приемлемых размеров могут применяться лишь при очень высоких частотах. Наиболее широкое применение получили волноводы с длиной волны 3 см и 10 см. Волноводы являются составной частью аппаратуры СВЧ.

3.5.6. Картина поля в прямоугольном волноводе

Для выяснения картины электромагнитного поля в прямоугольном волноводе воспользуемся уравнением для вектора напряженности магнитного поля

. (3.227)

Запишем это уравнение в проекциях вектора На координатные оси:

, (3.228)

, (3.229)

, (3.230)

Где - составляющие электрического поля, представленные формулами (3.215).

Выполнив дифференцирование, получим:

, (3.231)

, (3.232)

, (3.233)

Где - постоянные величины, связанные с постоянными .

Будем рассматривать волны, у которых вектор магнитного поля лежит в плоскости поперечного сечения волновода, т. е. волны, у которых составляющая магнитного вектора , направленная вдоль волновода, равна нулю. Волны такого типа называются поперечно-магнитными и обозначаются (transverse magnetic). Для различных волн индексы и , определяющие сложность поля, в обозначении Будут принимать разные значения. Простейшие волны имеют наименьшие значения И . Для поперечно-магнитных волн и не могут равняться нулю, так как при этом и , а по определению этих волн. Итак, волны И Не могут существовать. Простейшим видом волны Является волна .

Запишем формулы для составляющих электрического и магнитного векторов в некотором сечении волновода с координатами . Множитель в формулах пока опустим.

, (3.234)

, (3.235)

, (3.236)

, (3.237)

, (3.238)

(3.239)

Выясним значения составляющих поля на средних линиях сечения, т. е. при Для вектора электрического поля при :

(3.240)

(3.241)

(3.242)

Для вектора электрического поля при :

(3.243)

(3.244)

(3.245)

Графики этих составляющих поля приведены на рис. 3.32.

описание: полеволновод1 описание: полеволновод

Рис.3.32. Составляющие вектора электрического поля в среднем сечении волновода.

Картина вектора магнитного поля на средних линиях сечения описывается следующими выражениями. При

. (3.246)

При

. (3.247)

Остальные составляющие вектора магнитного поля равны нулю. Величина и направление магнитного вектора на средних линиях сечения показаны на рис. 3.33.

описание: полемагнволноводОбозначить векторы поля

Рис.3.33. Магнитный вектор в среднем сечении волновода

Все составляющие электрического и магнитного векторов зависят от координаты . Эта зависимость определяется множителем , который описывает периодическое изменение фазы волны вдоль волновода. Вся картина поля волны в продольном и поперечном сечениях волновода показана на рис. 3.34. Сплошные линии изображают электрические силовые линии, а пунктирные - магнитные.

описание: полетм11волновод описание: полноеполеволновод

Рис.3.34. Картина поля волны в продольном и поперечном сечениях волновода.

Картина, представленная на рисунке, движется в волноводе со скоростью .

Другой тип волн в волноводе называется поперечно-электрическими волнами и обозначается (transverse electric). Электрический вектор этих волн лежит в плоскости поперечного сечения волновода, т. е. составляющая поля .Для этих волн возможно существование волн при Или , равном нулю. Составляющие поля волны в некотором сечении, если опустить множитель , можно записать в следующем виде:

(3.248)

(3.249)

, (3.250)

(3.251)

(3.252)

. (3.253)

Из этих выражений видно, что магнитный вектор лежит в плоскости . Поэтому картина поля для волны на рис. 3.35 показана в трех проекциях.

описание: полете10

Рис.3.35. Картина поля волны В волноводе.