Политех в Сети

Сайт для Учебы

3.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ЦЕПИ

Рейтинг пользователей: / 14
ХудшийЛучший 

Сложные радиоэлектронные устройства состоят из простых цепей. Рассмотрим цепь, состоящую из резистора и конденсатора, включенных последовательно с идеальным генератором напряжения, показанную на рис. 3.3.

описание: дифференцирующаяцепь

Рис.3.3. Дифференцирующая цепь

Если выходное напряжение снимается с резистора, то цепь называется дифференцирующей, если с конденсатора – интегрирующей. Эти линейные цепи характеризуются стационарными и переходными характеристиками. Это связано с тем, что изменение величины действующего в цепи напряжения приводит к тому, что токи и напряжения в различных участках цепи приобретают новые значения. Изменение состояния цепи происходит не мгновенно, а в течение некоторого интервала времени. Поэтому различают установившееся и переходное состояние электрической цепи.

Электрические процессы считаются установившимися (стационарными), если закон изменения всех напряжений и токов совпадает с точностью до постоянных величин с законом изменения действующего в цепи напряжения от внешнего источника. В противном случае считают, что цепь находится в переходном (нестационарном) состоянии.

К стационарным характеристикам относятся амплитудно-частотная и фазовая характеристики линейной цепи.

Нестационарное состояние линейной цепи описывается переходной характеристикой.

Будем считать, что к входу цепи подключен идеальный генератор напряжения . На основании второго закона Кирхгофа для дифференцирующей цепи можно записать дифференциальное уравнение, связывающее напряжения и ток в ветвях цепи:

(3.2)

Так как напряжение на выходе цепи , то:

(3.3)

Подставляя в интеграл значение тока, получим:

(3.4)

Продифференцируем левую и правую части последнего уравнения по времени:

(3.5)

Перепишем это уравнение, в следующем виде:

, (3.6)

Где =- параметр цепи называемый постоянной времени цепи.

В зависимости от величины постоянной времени возможны два различных соотношения между первым и вторым слагаемыми правой части уравнения.

Если постоянная времени большая по сравнению с периодом гармонических сигналов >>Или с длительностью импульсов >>, которые можно подавать на вход этой цепи, то

(3.7)

И напряжение на выходе цепи с небольшими искажениями повторяет входное напряжение:

. (3.8)

Если же постоянная времени мала по сравнению с периодом гармонических сигналов <<Или с длительностью импульсов <<, то

. (3.9)

Отсюда напряжение на выходе равно:

. (3.10)

Таким образом, в зависимости от величины постоянной времени такая -цепь может либо с определенными искажениями передавать входной сигнал на выход, либо с определенной степенью точности его дифференцировать. При этом форма выходного сигнала будет разной. Ниже на рис. 3.4 представлены входное напряжение, напряжения на резисторе и конденсаторе для случаев, когда постоянная времени велика и постоянная времени мала .

описание: импульсыдифцепитаувелико описание: дифцепьимпульсытаумало

А Б

Рис. 3.4.Напряжения на элементах дифференцирующей цепи при (А) и (Б)

В начальный момент времени на резисторе появляется скачок напряжения, равный амплитуде входного сигнала, а затем начинается заряд конденсатора, во время которого напряжение на резисторе будет уменьшаться.

Когда постоянная времени , конденсатор не успевает зарядиться до амплитуды входного импульса и -цепь с небольшими искажениями передает входной сигнал на выход. При << конденсатор успеет полностью зарядиться до амплитуды входного напряжения за время действия первого импульса, а за время паузы между импульсами – полностью разрядиться. При этом на выходе цепи появляются укороченные импульсы, приблизительно соответствующие производной от входного сигнала. Считается, что когда Цепочка дифференцирует входной сигнал.

Теперь определим коэффициент передачи дифференцирующей цепи. Комплексный коэффициент передачи дифференцирующей цепи при подаче на вход гармонического сигнала равен:

. (3.11)

Обозначим отношение , где - граничная частота полосы пропускания дифференцирующей цепи.

Выражение для коэффициента передачи примет вид:

. (3.12)

Модуль коэффициента передачи равен:

. (3.13)

- граничная частота полосы пропускания, на которой модуль реактивного сопротивления становится равным величине активного сопротивления, а коэффициент передачи цепи равен . Зависимость модуля коэффициента передачи от частоты называется амплитудно–частотной характеристикой (АЧХ).

Зависимость угла сдвига фаз между выходным и входным напряжениями от частоты называется фазовой характеристикой (ФЧХ). Фазовая характеристика:

(2.14)

Ниже на рис. 3.5 представлены АЧХ и ФЧХ дифференцирующей цепи:

Рис. 3.5.Амплитудно–частотная и фазовая характеристики

Дифференцирующей цепи

Из амплитудно-частотной характеристики видно, что прохождение сигналов через дифференцирующую цепь сопровождается уменьшением амплитуд низкочастотных составляющих его спектра. Дифференцирующая цепь является фильтром высоких частот.

Из фазовой характеристики видно, что фазы низкочастотных составляющих сдвигаются на больший угол, чем фазы высокочастотных составляющих.

Переходную характеристику дифференцирующей цепи можно получить, если на вход подать напряжение в виде единичного скачка. Комплексный коэффициент передачи равен

=. (3.15)

Отсюда следует:

. (3.16)

Заменим оператор на оператор Лапласа .

Тогда:

(3.17)

Изображение входного напряжения, представляющего единичный скачок, равно:

. (3.18)

Изображение коэффициента передачи

. (3.19)

Учитывая оригиналы этих изображений, напряжение на выходе дифференцирующей цепи будет равно:

(3.20)

Таким образом, аналитическое выражение для переходной характеристики дифференцирующей цепи записывается в следующем виде:

, (3.21)

На рисунках ниже приведено напряжение единичного скачка и переходная характеристика дифференцирующей цепи.

описание: переходнаях-кадифцепи

Рис. 3.6. Единичный скачок и переходная характеристика дифференцирующей цепи

При переходная характеристика .

Исходя из этого, можно дать определение постоянной времени цепи. Постоянная времени - Это время, за которое напряжение на выходе дифференцирующей цепи изменяется до уровня 0,37 от начального уровня входного сигнала в виде единичного скачка.

Дифференцирующая цепь укорачивает входные импульсы. Однако дифференцирующие цепи чаще всего применяются не для дифференцирования, а для разделения переменной и постоянной составляющих напряжения. В этом случае постоянную времени цепи берут достаточно большой, чтобы избежать искажений сигнала за счет его дифференцирования.