Политех в Сети

Сайт для Учебы

6.2. Спектральное разложение

Рейтинг пользователей: / 8
ХудшийЛучший 

Известно, что произвольное немонохроматическое волновое возмущение можно представить в виде суперпозиции эталонных волн или, как говорят, разложить его в спектр, выполнить спектральное разложение.

Разложение волновых пучков и импульсов по плоским гармоническим волнам имеет особое значение для оптики, так как такое разложение оказывается не только удобной математической операцией, но оно фактически осуществляется в реальном оптическом эксперименте. Один из классических опытов – опыт Ньютона по разложению света в спектр с помощью стеклянной призмы – нетрудно перевести на математический язык спектральных разложений. Оно означает, что поле можно представить в виде суперпозиции плоских монохроматических волн.

Основная идея спектрального описания состоит в том, чтобы представить некоторую функцию времени F(T), описывающую световое возмущение в виде интеграла Фурье:

(1)

То есть разложить в спектр по гармоническим колебаниям или, как говорят, в частотный спектр

(2)

Амплитуды квадратурных спектральных компонент A(w) и B(w) или спектральные амплитуды F(w) и фаза j (w), определяющие частотный спектр функции F(T), вычисляются с помощью обратного преобразования Фурье

(3)

Каждая гармоническая компонента возмущения F(T) возбуждает монохроматическую световую волну:

(4)

Эта функция удовлетворяет волновому уравнению. Удовлетворяет волновому уравнению и полное поле, являющееся суперпозицией волн (4):

(5)

Из формул (3), определяющих амплитудные коэффициенты A(w) и B(w), видно, что A(w) — четная функция частоты, а B(w) — нечетная: и

Поэтому формулу (1) можно переписать в симметризованном по w виде:

(6)

(7)

Введем комплексную спектральную амплитуду

(8)

Пользуясь формулой Эйлера

(9)

Выразим произведение Fk(w)EiWT. Получим

Действительная часть этого комплексного выражения является четной функцией частоты w, а минимальная часть - нечетной. Поэтому интегрируя правую и левую части последнего выражения по частоте в бесконечных пределах, получаем

Сравнивая последнее выражение с формулой (6), получим

(10)

Нетрудно найти комплексную спектральную амплитуду, учитывая формулы (3), (8) и (9):

(11)

Комплексное представление преобразования Фурье имеет вид:

и (12)

Где для упрощения записи опущен индекс "к" у комплексной спектральной амплитуды.

В общем случае спектральная амплитуда F(w), определяемая формулой (12), является комплексной функцией частоты:

Где F(w)представляет собой действительную амплитуду гармоники с частотой w в спектре функции F(T). Аргумент j (w) характеризует действительную фазу этого колебания, так как разные гармоники, образующие в совокупности сигнал F(T) могут иметь различные фазы. Однако такую полную спектральную информацию об оптическом процессе экспериментально трудно получить. На опыте обычно измеряется так называемая спектральная плотность S(w), которая характеризует распределение энергии света по спектру. По определению спектральной плотностью называется величина, равная квадрату модуля комплексной спектральной амплитуды:

(13)

В этом выражении вся информация о фазах гармонических колебаний, составляющих F(T), утрачена.

В теории спектральных разложений используется так называемое «равенство Парсеваля», которое имеет вид:

Чтобы доказать это равенство достаточно воспользоваться интегралами Фурье (12). Изменяя порядок интегрирования по w и T, получим

Где (*) - обозначает комплексное сопряжение.

Применительно к оптике это соотношение имеет простой физический смысл. Если под F(T) понимать напряженность электрического поля световой волны в некоторой фиксированной точке пространства, то величина оказывается пропорциональной энергии светового импульса, прошедшей через площадку единичной площади в окрестности данной точки.

Действительно:

Где I - интенсивность, P- мощность, W - энергия импульса.

С другой, стороны, согласно равенству Парсеваля, та же самая величина (энергия) равна интегралу по всем частотам от спектральной плотности поля S(w). Это и означает, что спектральная плотность описывает распределение энергии светового импульса по частотам. Таков физический смысл данной характеристики излучения.

Пространственное Фурье - разложение.

Спектральные разложения естественным образом обобщаются и на волновые пучки, — пространственно модулированные волны. Конечная протяженность, или как говорят, конечная апертура источника приводит к тому, что амплитуда световых колебаний изменяется в плоскости, перпендикулярной направлению распространения света - возникает пространственно модулированная волна. В такой световой волне значение амплитуды и фазы зависят от координат, т. е. имеет место ситуация, принципиально отличная от таковой для плоской волны.

Такую пространственно модулированную волну можно представить в виде суперпозиций плоских волн, распространяющихся по разным направлениям. Различные спектральные компоненты в таком разложении можно характеризовать углами между направлением распространения волны и координатными осями. Поэтому говорят об Угловом спектре пространственно модулированной волны (или о спектре пространственных частот). Разложение в угловой спектр физически происходит в очень простых опытах. Например, линза выполняет такую же операцию Фурье-разложения по отношению к угловому спектру, что и призма по отношению к частотному.

Преобразования Фурье особенно важны при анализе современных систем оптической отработки информации. Оптические методы играют всё возрастающую роль в решении проблемы создания высокопроизводительных систем обработки больших массивов информации.

Как уже отмечалось, волновые (в частности, оптические) явления характеризуются как временной зависимостью, так и пространственной, т. е. зависимостью от координат. В Фурье - оптике большой интерес представляет и пространственная структура волны, которая описывается (в случае гармонических волн фиксированной частоты w) комплексной амплитудой волны F(X, y, z), являющейся решением уравнения Гельмгольца:

(14)

Где K = w/c – волновое число.

Комплексную амплитуду волны F(X, y) можно представить в виде интеграла Фурье [двумерный аналог формулы (10)]:

(15)

Физический смысл разложения состоит в следующем. Можно проверить, что функция

(16)

Является решением уравнения Гельмгольца, удовлетворяющего на плоскости Z = 0 граничному условию

Это утверждение справедливо при любых значениях параметров u и V. Функция (16) есть комплексная амплитуда плоской волны, причем параметры U, V — проекции волнового вектора с этой волны на оси X, Y, если . Если же , тогда выражение (16) также является решением уравнения (14) и называется неоднородной волной. В этом случае амплитуда волны падает с ростом Z экспоненциально, поскольку - мнимое число.

Таким образом, выражение (15) есть представление произвольной волны, заданной в некоторой плоскости Z = coNST, в виде суперпозиции плоских волн, как бегущих, так и неоднородных.

Плоская волна Et(UxVy) в задачах пространственной фильтрации является аналогом гармонического колебания EiWT. Поэтому пару чисел U, V называют Пространственными частотами. Кроме того, можно записать, что

(17)

Выражения (15) и (17) известны как пара двумерных преобразований Фурье. Равенство (17) часто называют прямым преобразованием Фурье, а (15) – обратным преобразованием Фурье.

Следует отметить, что F(UV) является, вообще говоря, комплексной функцией

|F(UV)| и j (UV) обычно называют амплитудным и фазовым спектром соответственно, а F(UV) спектром Фурье или спектром пространственных частот.

Преобразования Фурье, осуществляемые линзой

Линза является основным элементом любого оптического устройства. Идеальная безаберрационная линза осуществляет фазовую модуляцию вида

Где F — фокусное расстояние линзы. Пространственное разложение тесно связано со свойством линзы фокусировать параллельный пучок света: падающая на линзу плоская волна exp[I(UxVy)] с пространственной частотой (UV) фокусируется линзой в точку фокальной плоскости с координатами XFu/K и YFv/K. Падающая на линзу произвольная волна с комплексной амплитудой F(UV) может быть представлена, согласно (15) суперпозицией плоских волн разных направлений, т. е. разных пространственных UV. Каждая из плоских волн в этой суперпозиции фокусируется линзой в свою определенную точку фокальной плоскости, создавая в ней световое поле с амплитудой, пропорциональной амплитуде соответствующей волны, и с фазой, определяемой фазой соответствующей волны, т. е. создавая в ней колебание, пропорциональное величине F(Kx/f, Ky/F), где F(UV) – преобразование Фурье функции F(UV).

Таким образом, световое поле, возникающее в фокальной плоскости линзы, представляет собой пространственное спектральное разложение волны, падающей на линзу.