Политех в Сети

Сайт для Учебы

6.1. Основные понятия Фурье-оптики

Рейтинг пользователей: / 1
ХудшийЛучший 

Идеи и методы, связанные с направленным воздействием на световые поля с целью формирования заданной структуры поля, объединяют понятием ”фурье-оптика". Тем самым подчёркивается основополагающая роль спектральных представлений для решения задач, связанных с анализом, преобразованием и синтезом световых полей.

Спектральное разложение, основанное на преобразовании Фурье, позволяет представить произвольное световое поле со сложной пространственно-временной структурой в виде суперпозиции плоских монохроматических волн. В силу линейности волнового уравнения, каждая из этих волн распространяется в вакууме или в линейной оптической среде независимо от других волн, что дает возможность свести анализ преобразования сложного поля к задаче о преобразовании элементарной волны. Результирующее поле находят затем путем суммирования прошедших через систему плоских монохроматических волн.

Указанные процедуры - анализ, преобразование и синтез световых полей - являются не только просто математическими операциями, но во многих случаях отчётливо проявляются как реальные физические процессы. Так, при свободной дифракции светового пучка в дальней зоне формируется устойчивое пространственное распределение интенсивности излучения, повторяющее по форме Угловой спектр пучка. Такую же форму, только в значительно меньшем масштабе, имеет распределение поля в фокальной плоскости линзы. В обоих случаях осуществляется пространственное спектральное разложение поля. Различные операции над световыми полями, выполняемые в фокальной плоскости линзы с помощью разного рода экранов, масок, фазовых пластин, являются Пространственными аналогами частотной Фильтрации электрических колебаний, применяемой в радиотехнике.

Спектральное описание пространственной структуры поля.

Поле световой волны, распространяющейся в свободном пространстве, подчиняется волновому уравнению:

, (1)

Где

.

D — оператор Лапласа. Ограничимся рассмотрением дифракции монохроматической волны. Полагая

 + к. с.

Получим для комплексной амплитуды уравнение Гельмгольца:

, (2)

Где K = w/c. Задача дифракции состоит в отыскании решения уравнения (2), удовлетворяющего граничному условию

(3)

Такое условие возникает, например, при прохождении света через экран типа "чёрная маска", плоский транспарант, вносящий фазовую неоднородность и т. п.

Выше мы познакомились с решением задачи дифракции, основанным на применении теоремы Грина и интегральной теоремы Кирхгофа-Гельмгольца. Это позволило математически обосновать принцип Гюйгенса-Френеля, записать дифракционный интеграл в приближениях Френеля и Фраунгофера, решить ряд дифракционных задач. Покажем теперь, что задача дифракции может быть решена и другим способом - с помощью спектрального подхода. Этот путь решения оказывается даже более простым.

Разложим двумерное световое поле e0(X,Y), заданное в начальном сечении Z = 0, в интеграл Фурье

(4)

Здесь пространственная спектральная амплитуда e0(Kx,Ky) определяется обратным преобразованием Фурье:

(5)

Световое поле e(X,Y,Z) в произвольной точке пространства ищем в виде, аналогичном (4), но со спектральной амплитудой, зависящей от Z:

(6)

Подставляя (6) в (2), находим уравнение для спектральной амплитуды e(Kx,Ky,Z):

(7)

И его решение

(8)

Подставив теперь (8) в (6), получим

(9)

Или, с учетом (5)

, (10)

Где введена функция

(11)

Называемая функцией Грина данной линейной системы. Введем так же функцию

, (12)

Называемую частотным коэффициентом передачи системы. Из формул (8) и (12) следует, что

(13)

Кроме того, в силу (11), (12)

(14)

И, следовательно,

(повтор?!) (15)

Таким образом, частотный коэффициент передачи и функция Грина связаны между собой преобразованием Фурье. Это общее свойство всех линейных систем.

Прямой подстановкой (10), (11) в (2), (3) нетрудно проверить, что найдено точное решение задачи дифракции. Простота решения указывает на адекватность использованного математического метода физическому содержанию задачи дифракции.

Инварианты распространения светового пучка.

Введём интенсивность J, мощность P и угловой спектр S(Kx,Ky) светового пучка, определив их формулами:

(16)

(в Гауссовой системе)

(17)

(18)

В силу теоремы Парсеваля:

(19)

Из формул (12), (13), (16) – (19) следует, что угловой спектр пучка и его полная мощность не зависят от Z, т. е. являются инвариантами распространения:

(20)

(21)

Нетрудно проверить, что результаты конкретных расчетов, проделанных выше, удовлетворяют общим соотношениям (20), (21). Формула (20) раскрывает причину устойчивости картины фраунгоферовой дифракции. Согласно этой формуле, картина дифракции, возникающая в дальней зоне, устойчива потому, что она повторяет форму углового спектра пучка, а угловой спектр является инвариантом распространения.

Приближение Френеля.

Для слабо расходящегося светового пучка имеет место неравенство:

(22)

Т. е. угловой спектр является достаточно узким. В этом случае можно записать приближенное равенство:

(23)

Частотный коэффициент передачи приобретает вид

(24)

Подставив (24) в (14) и выполнив интегрирование, получим следующее выражение для функции Грина:

(25)

Подстановка (25) в (10) приводит к формуле

(26)

Полученное выражение совпадает с дифракционным интегралом в приближении Френеля. Таким образом, в рамках спектрального подхода удается воспроизвести все результаты френелевской теории дифракции. Кроме того, спектральные представления позволяют глубже понять физический смысл такого понятия как дифракционная расходимость светового пучка.

Дифракционная расходимость излучения.

Рассмотрим, для определенности, дифракцию плоской волны на щели. Согласно спектральным представлениям, ограничение поперечного размера светового пучка приводит к уширению его углового спектра. При этом связь между поперечным размером пучка DX и шириной углового спектра DKx выражается формулой:

(27)

Которая вполне аналогична формуле DTDw = 2p, связывающей между собой длительность импульса DT и ширину частотного спектра Dw. Пространственная частота Kx выражается через угол, показанный на рис. 1 следующим образом: Kx = KSinq, где K = 2p/l - волновое число, l - длина световой волны.

Для малых углов q можно, следовательно, записать Kx = KQ и DKx = KDq, где Dq - ширина углового спектра или угловая расходимость пучка. Пусть ширина щели DX = D. Тогда из формулы (27) следует, что

В соответствии с формулой, полученной раньше. Таким образом, в спектральной теории оценка дифракционной расходимости излучения может быть получена как следствие фундаментального соотношения между поперечным размером пучка и шириной его углового спектра.

Линза, как элемент, выполняющий пространственное преобразование Фурье.

Из геометрической оптики известно, что линза собирает параллельный пучок света в точку, расположенную в фокальной плоскости (рус. 2). Произвольное световое поле можно представить как совокупность плоских волн (параллельных пучков), падающих на линзу под разными углами. Каждой такой волне линза ставит в соответствие определенную точку в фокальной плоскости. При этом распределение света в фокальной плоскости приобретает форму пространственного спектра поля, падающего на линзу. В этом смысле линза действует как элемент, выполняющий пространственное спектральное разложение света, или пространственное преобразование Фурье.

Указанное свойство линзы нетрудно описать на языке волновой оптики. Для этого введём коэффициент передачи линзы и воспользуемся френелевской теорией дифракции.

Коэффициент передачи тонкой линзы.

Рассмотрим линзу, для которой луч, входящий в точке с координатами X,Y на одной поверхности выходит на другой поверхности в точке с такими же координатами. Разумеется, данное условие является приближенным, однако оно выполняется тем точнее, чем тоньше линза. Этим и объясняется термин "тонкая" линза.

Определим комплексный Коэффициент передачи тонкой линзы T(X,Y) как отношение комплексных амплитуд прошедшей и падающей волн

(29)

Для вычисления этой характеристики линзы необходимо описать распространение света в стекле. Распространение света в различных оптических средах будет подробно рассмотрено ниже. Здесь же воспользуемся одним простым результатом, необходимым нам для расчёта. Этот результат заключается в том, что в прозрачной линейной изотропной оптической среде световая волна распространяемся со скоростью

,

Где C - скорость света в вакууме, N - действительная положительная величина, большая единицы, называемая Показателем преломления среды.

Принимая во внимание последнее соотношение, запишем световую волну в стекле в виде

 + к. с.

Где комплексная амплитуда:

(30)

И K = w/c = 2p/l0, l0 – длина волны в вакууме.

Обозначим через D(X,Y) толщину линзы в точке с координатами X,Y, а через D0 - её максимальную толщину (рис. 3).

Тогда нетрудно показать, что коэффициент передачи линзы есть

(31)

Где

Теперь вычислим функцию D(X,Y). Сделаем это на примере плосковыпуклой линзы, показанной на рис. 4. Как видно из этого рисунка,

, (32)

Где R - радиус кривизны сферической поверхности линзы. Полагая, что

, (33)

(“параксиальное” приближение), запишем выражение для D(X,Y) в виде:

(34)

Тогда коэффициент передачи линзы приобретает вид

(35)

Для упрощения записи мы опустили здесь постоянный фазовый множитель.

Далее введём фокусное расстояние линзы F, определив его формулой:

(36)

Тогда

(37)

В такой форме коэффициент передачи описывает не только плосковыпуклую, но и вообще любую тонкую линзу.

Распределение света в фокальной плоскости линзы.

Вычислим теперь распределение интенсивности света в фокальной плоскости линзы. Пусть на линзу с фокусным расстоянием F падает монохроматическая световая волна с комплексной амплитудой e0 = e0(X,Y). Тогда комплексная амплитуда волны на выходе из линзы есть

Далее световая волна распространяется в соответствии с законами дифракции. Используя дифракционный интеграл в приближении Френеля

Можно найти распределение амплитуды поля на любом расстоянии Z от линзы

В частности, полагая ZF, найдём распределение поля в фокальной плоскости линзы

Или

(38)

Где

(39)

Формула (38) показывает, что в фокальной плоскости линзы формируется распределение поля, пропорциональное пространственному фурье-образу поля, падающего на линзу. Распределение интенсивности света в фокальной плоскости имеет форму углового спектра излучения падающего на линзу, а именно

(40)

Спектральный анализ оптических изображений.

Тот факт, что в фокальной плоскости образуется распределение интенсивности света, имеющее форму пространственного спектра поля, падающего на линзу, можно использовать для получения фурье-спектров оптических изображений. Для этого достаточно поместить транспарант с изображением непосредственно перед линзой, направить на него пучок когерентного света и поместить фотопластинку в задней фокальной плоскости линзы. Записанное на фотопластинке изображение будет иметь форму пространственной спектральной плотности изображения на транспаранте.

Формирование оптического изображения.

Теория Аббе. В 70-х годах 19 века Эрнст Аббе проводил опыты, направленные на улучшение качества объективов для микроскопов. Работая в Йенском университете как сотрудник (а затем и как компаньон) Карла Цейса, Аббе обнаружил, что объектив микроскопа дает тем лучшее разрешение, чем больше его апертура. В экспериментах с объектами, имеющими периодическую структуру (чешуйки насекомых), он показал, что влияние апертуры микроскопа связано с дифракцией света на самом образце, Аббе ввёл волновую теорию в инструментальную оптику, бывшую ранее исключительно сферой приложения геометрической оптики.

Согласно теории, развитой Аббе, процесс формирования линзой оптического изображения можно разбить на два этапа: фурье-анализ волнового поля объекта и фурье-синтез изображения. При этом важную роль играет фокальная плоскость линзы, в которой образуется распределение поля, пропорциональное фурье-образу поля источника.

Схема формирования изображения по Аббе показана на рис. 5. В качестве объекта, изображение которого строит линза, выбрана дифракционная решетка. Так как свет, прошедший через решетку, имеет дискретный угловой спектр, имеется возможность проследить ход отдельных спектральных компонент пространственного спектра поля. Как видно из рисунка, на первом этапе линза L осуществляет фурье-анализ волнового поля, испускаемого объектом. Эта операция осуществляется в области пространства между линзой и ее задней фокальной плоскостью и математически выражается преобразованием Фурье. Распределение интенсивности света в задней фокальной плоскости линзы представляет собой фурье-образ поля, испускаемого объектом. На втором этапе в процессе свободной дифракции осуществляется фурье-синтез изображения. Эта операция происходит в области пространства между задней фокальной плоскостью линзы и плоскостью изображения P и математически также выражается преобразованием Фурье. В итоге в плоскости изображения формируется световое поле, структура которого повторяет структуру объекта.

Разумеется, теория Аббе не противоречит принципам геометрической оптики, хорошо проверенным на опыте. Однако она позволяет глубже понять физику формирования оптических изображений, оценить предельную разрешающую способность оптических приборов, и, кроме того, несёт в себе плодотворную идею обработки изображений путем воздействия на пространственный спектр излучения.

Так, помещая в фокальной плоскости линзы диафрагму, экран или фазовую пластину, можно осуществить такое преобразование углового спектра излучения, при котором нужные детали изображения будут подчеркнуты, а помехи удалены. Таким образом в оптике удаётся реализовать частотную фильтрацию оптических полей - операцию, аналогичную фильтрации электрических колебаний, применяемой в радиотехнике. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих принципы фурье-оптики.

Опыты Аббе-Портера.

Схема эксперимента показана на рис. 6. Предмет, которым служит сетка из тонкой проволоки, освещается когерентным светом. Свет, прошедший через сетку, падает на линзу, которая строит изображение сетки на экране. Из-за периодичности структуры сетки её фурье-спектр имеет вид системы пятен. При этом размер отдельного пятна определяется размером сетки, а расстояние между пятнами определяется периодом сетки. Вертикальные столбцы пятен соответствуют вертикальной неоднородности сетки, т. е. системе проволок, вытянутых в горизонтальном направлении. Горизонтальные "строки" пятен соответствуют системе проволок, вытянутых по вертикали.

Возможности спектральной фильтрации изображения хорошо видны на примере эксперимента, в котором в заднюю фокальную плоскость линзы помещают узкую щель, которая пропускает только один ряд спектральных компонент. На рис. 7а показан спектр, пропускаемый горизонтальной щелью. Соответствующее изображение, показанное на рис. 7б содержит систему проволок, вытянутых по вертикали. Горизонтально вытянутые проволоки исчезают из изображения. Если повернуть щель на 90° так, чтобы она пропускала лишь вертикальный ряд пятен (рис. 8а), то получающееся изображение содержит лишь систему горизонтальных линий (рис. 8б).

Можно наблюдать и другие интересные эффекты. Например, если в фокальную плоскость линзы поместить ирисовую диафрагму и установить ее так, чтобы через неё проходила только осевая фурье-коспонента спектра, то при постепенном расширении диафрагмы можно шаг за шагом проследить фурье-синтез сетки. Если же вместо диафрагмы поместить в фокальной плоскости маленький экран, который закрывал бы центральное пятно фурье-спектра, то получим изображение сетки с обращенным контрастом.

Метод тёмного поля.

Метод темного поля используют в микроскопии для наблюдения структуры слабо поглощающих свет объектов, таких как срезы живых тканей, клетки и т. п. Идею метода иллюстрирует схема, показанная на рис. 9. Свет от источника проходит через исследуемый объект O и линзу L1. В точке фокуса расположен небольшой непрозрачный диск D. Линза L2 проецирует изображение на экране. В отсутствие диска D на экране видно светлое поле с почти однородной засветкой. При внесении диска освещенность экрана резко уменьшается — возникает "темное поле". При этом на темном фоне становится отчетливо видной структура объекта.

Объяснение опыта состоит в следующем. Неоднородная оптическая плотность или толщина прозрачного объекта вызывает преломление света и появление отклоненных лучей. Эти лучи, несущие информацию о структуре объекта и являющиеся полезным сигналом, пропускаются диском D, размер которого достаточно мал. В то же время прямые лучи, которые не несут информации об объекте и являются помехой, задерживаются диском D. Это и приводит к улучшению видности структуры объекта.

O – объект, D – непрозрачный диск, L1, L2 – линзы.

Метод фазового контраста.

Этот метод, предложенный Фрицем Цернике в 1935г., также используют в микроскопии для получения изображений прозрачных и бесцветных объектов. Неоднородность показателя преломления объекта, например, живой клетки, приводит к тому, что прошедшая через объект световая волна претерпевает в разных точках объекта разные изменения фазы, т. е. приобретает фазовый рельеф. В методе фазового контраста этот рельеф преобразуется в изменения яркости света - амплитудный рельеф - с помощью специальной фазовой пластинки, расположенной вблизи заднего фокуса объектива микроскопа.

Упрощенная схема метода подобна схеме, используемой в методе тёмного поля, только вместо непрозрачного диска в фокальной плоскости линзы расположен стеклянный диск - фазовая пластина. Толщина пластины подобрана так, что она осуществляет изменение фазы падающей на нее световой волны на p/2.

Как и в методе тёмного поля, на пластину падает свет, не претерпевший преломления в объекте. Этот свет, не несущий информации о структуре объекта, линза собирает в точке фокуса. В то же время преломленные объектом лучи - полезный сигнал - минуют фазовую пластину, проходя сбоку от нее. Затем фоновая волна, фаза которой сдвинута на p/2, и сигнальная волна интерферируют, в результате чего формируется изображение структуры объекта.

Поясним сказанное с помощью простых формул. Пусть объект характеризуется комплексным коэффициентом пропускания.

Где j(X,Y) - действительная функция, модуль которой меньше единицы:

В этом случае можно приближенно написать:

Комплексную амплитуду волны, падающей на объект, обозначим через e0. Тогда волна, прошедшая через объект, имеет амплитуду

(40)

В отсутствие фазовой пластины поле с амплитудой e(X,Y) непосредственно проецируется на экран или наблюдается в окуляр микроскопа. При этом наблюдаемое распределение интенсивности

(41)

Почти однородно, структура объекта просматривается плохо. Иная ситуация имеет место, если в фокусе линзы находится фазовая пластинка, сдвигающая фазу фоновой волны на p/2. В этом случае слагаемое e0 в правой части формулы (40) следует заменить на IE0. При этом второе слагаемое IE0j(X,Y), описывающее волну, преломленную в объекте, остаётся без изменения, так как преломленные волны проходят мимо фазовой пластины, размер которой достаточно мал. В итоге амплитуда волны, прошедшей через объект и фазовую пластину, приобретает вид

,

А соответствующее распределение интенсивности есть

(42)

Сравнивая формулы (41) и (42) и учитывая условие , видим, что при наличии фазовой пластины в фокусе линзы контраст наблюдаемой картины должен значительно возрасти. Эксперименты подтверждают этот вывод.

Рис. 10. К оценке разрешающей способности линзы.

Разрешающая способность микроскопа и телескопа.

Из теории Аббе следует, то даже самая совершенная линза строит изображение с некоторой ошибкой. Это связано с тем, что световое поле объекта имеет, вообще говоря, произвольный спектр пространственных частот, в то время как линза из-за конечности своей апертуры способна уловить лишь конечную полосу частот из этого спектра. Не все лучи, испускаемые объектом, попадают на линзу. Лучи, соответствующие высоким пространственным частотам, проходят мимо линзы и, следовательно, не принимают участие в формировании изображения. Поэтому изображение, формируемое линзой, не является точной копией самого объекта, в нем отсутствуют наиболее мелкие детали структуры объекта.

Высказанные соображения становятся особенно наглядными, если в качестве объекта, изображение которого строит линза, рассматривать дифракционную решетку. Предположим, что в пределы апертуры линзы попадают только нулевой и первый порядки дифракции на решетке, т. е. имеет место ситуация, показанная на рис. 5. Как будет в этом случае выглядеть изображение решетки? Согласно уравнению дифракционной решетки

(43)

Где M = 0, ±1, ±2, …, информация о периоде решетки содержится в угле отклонения от оси первого дифракционного максимума, поэтому она будет передана через линзу и будет содержаться в изображении. В то же время, мелкие детали структуры решетки будут искажены, так как информация о них содержится во втором и более высоких порядках дифракции, которые не попадают на линзу. Поэтому, если исходная решетка является, например, прямоугольной, то в изображении резкие края щелей будут смазаны и будет сформирована решетка, близкая к синусоидальной.

Рассмотренный пример позволяет оценить предел разрешающей способности линзы и микроскопа. Минимальный период решетки D, который может быть разрешен с помощью линзы, соответствует случаю, когда дифракционный максимум первого порядка направлен точно на край линзы. Этот случай показан на рис. 10 .Из этого рисунка видно, что чем больше диаметр линзы и чем ближе линза к решетке, тем более мелкая решетка может быть разрешена. Однако если угол отклонения первого дифракционного максимума близок к p/2, то этот максимум неизбежно выходит за пределы апертуры линзы и, следовательно, решетка не может быть разрешена. Таким образом, можно записать

И, в силу (43)

Итак, разрешающая способность линзы, во всяком случае, ограничена длиной световой волны. Это и есть принципиальный предел разрешения в оптике.

Электронный микроскоп.

Радикальный путь увеличения разрешающей способности лежит уже за пределами оптики - это электронная микроскопия.

Известно, что при определенных условиях электрон и другие микрочастицы проявляют волновые свойства. Яркий пример подобного рода - дифракция электронов, наблюдавшаяся Дэвиссоном и Дкермером в 1927 г. Длина волны электрона, называемая де-бройлевской длиной волны, зависит от энергии, и уже при энергиях в несколько электрон-вольт становится на несколько порядков меньше длины волны видимого света. Возникла идея построить микроскоп, в котором вместо видимого света использовались бы электронные волны. Поскольку электроны имеют очень малую длину волны, такой микроскоп мог бы иметь чрезвычайно высокую разрешающую способность. Реализация этой идеи и привела к созданию электронного микроскопа.

Оценим разрешающую способность электронного микроскопа. Будем считать, что как и в случае оптического микроскопа, она определяется формулой DMin = l, где под l следует теперь понимать де-бройлевскую длину волны электрона.

Рассмотрим для простоты нерелятивистский электрон, т. е. электрон, скорость которого значительно меньше скорости света,

В этом случае импульс P и кинетическая энергия W электрона выражаются формулами

,

А де-бройлевская длина волны

Где H - постоянная Планка, M - масса электрона, V - его скорость. Сделаем численную оценку. Полагая W = 100 эВ (ТТТ) получим

См/с и

Таким образом, согласно нашей оценке, разрешающая способность электронного микроскопа на 3-4 порядка выше, нем у оптического микроскопа.

На практике современные электронные микроскопы позволяют достичь разрешающей способности порядка (1-10) A при энергиях электронов (104-105) эВ. При микроскопии твёрдых тел это дает возможность наблюдать группы атомов или даже отдельные атомы.

Рис. 11. К оценке разрешающей способности телескопа.

Телескоп.

Телескоп предназначен для наблюдения уделенных объектов - звезд, планет, астероидов и т. п. Одной из основных характеристик телескопа является разрешающая способность, под которой понимается минимальный угловой размер объекта, различимого в телескоп. Как и в случае микроскопа, принципиальное ограничение на величину разрешающей способности накладывает дифракция.

Оценим разрешающую способность телескопа. Предположим, что на входную линзу телескопа падает свет от двух удаленных точечных источников (звезд). Найдем величину угла между направлениями на звезды, при котором звезда еще различимы.

Пусть свет от одной звезда падает на линзу по нормали, а от другой - под некоторым углом j. Ввиду большого расстояния до звезд, свет от каждой из них представляет собой почти параллельный пучок.

В приближении геометрической оптики параллельный пучок света, падающий на линзу, фокусируется ею в точку, расположенную в фокальной плоскости. Дифракция приводит к тому, что пятно фокусировки для каждого из пучков имеет конечный размер. Поэтому при достаточно малых угла j изображения звезд начнут накладываться одно на другое и уже не будут разрешаться как отдельные элементы.

Как показано ранее, размер фокального пятна определяется формулой

Где F - фокусное расстояние, D - апертура линзы, l - длина световой волны.

Из рис. 11. видно, что условие разрешения звезд есть

Где

Отсюда

Что совпадает с оценкой, полученной ранее.

Итак, разрешающая способность телескопа определяется формулой jMin = l/D, где l - длина световой волны, D - апертура телескопа. Например, зеленчукский телескоп, главное зеркало которого имеет диаметр D = 6 м, характеризуется разрешающей способностью порядка Рад.