Политех в Сети

Сайт для Учебы

5.8. Ближняя и дальняя зоны дифракции

Рейтинг пользователей: / 4
ХудшийЛучший 

Попытаемся выяснить, как меняется интенсивность света J на оси отверстия по мере увеличения расстояния от экрана Z. Упростим задачу, полагая A ® ¥, т. е. полагаем источник удаленным в бесконечность. Если расстояние Z фиксировано, то радиусы френелевских зон выражаются формулой:

, (1)

Где M - номер зоны, l - длина световой волны. Теперь будем считать фиксированным радиус отверстия R. По мере удаления от экрана периферийные зоны Френеля одна за другой начнут выходить за пределы отверстия, пока, наконец, в пределах отверстия не остается одна первая зона Френеля. В этот момент интенсивность света J в точке наблюдения достигает максимума (рис. 1), после чего монотонно убывает с ростом расстояния Z.

Рис. 1

Назовем расстояние, при котором отверстие совпадает с первой зоной Френеля, дифракционной длиной светового пучка. Обозначим это расстояние Zg. Из формулы (1) следует, что:

, (2)

R - радиус отверстия. Дифракционная длина определяет границу между двумя областями. Область, для которой Z << Zg называется Ближней зоной дифракции. В этой области световой пучок сохраняет структуру, заданную формой отверстия, а интенсивность света на оси пучка примерно равна интенсивности исходной световой волны. Для точек ближней зоны в пределах отверстия помещается множество зон Френеля, и поперечный профиль пучка поддерживается постоянным за счет интерференции элементарных вторичных волн, идущих от разных зон.

Область, для которой Z >> Zg, называется дальней зоной дифракции. Для данной области в пределах отверстия помещается только центральная часть первой зоны Френеля. Интерференция элементарных вторичных волн выражена слабее, и она не в состоянии поддерживать исходный поперечный профиль пучка, пучок становится расходящимся.

Дифракционная расходимость пучка в дальней зоне.

Характер изменения поперечного размера пучка вследствие дифракции показан на рис. 2. Оценим дифракционную расходимость пучка qD.

Рис. 2

Исходя из представления об интерференции элементарных вторичных волн, можно допустить, что положение границы светового пучка определяется условием:

,

Где D - разность хода лучей, приходящих в данную точку от противоположных границ отверстия. Из рис. 2 видно, что:

Где D — диаметр отверстия, qD — угол дифракционной расходимости. Как правило, qD << 1, поэтому можно записать приближенное соотношение, D = (DQD)/2, из которого следует, что:

(3)

Формула показывает, что дифракционная расходимость пучка тем больше, чем меньше его начальный размер.

Оценим дифракционную длину Zd и угловую расходимость qD для пучка гелий-неонового лазера. Полагая D = 2 мм, l = 0,6 мкм, получим Zd = 1,5 м; qD = 3×10–4 рад.

Рис. 3

Формула (3) позволяет оценить минимальный поперечный размер пучка, который может быть получен при фокусировке света линзой. Схема фокусировки показана на рис. 3. Будем исходить из того, что картина фокусировки симметрична относительно фокальной плоскости линзы. Это подтверждает опыт и правила геометрической оптики. Тогда можно записать, что qD = l/DФ и с другой стороны

, (4)

Где DФ - диаметр пучка в фокальной плоскости, F - фокусное расстояние линзы, D - диаметр пучка, падающего на линзу. Из уравнений (4) находим:

(5)

Параметр DФ очень важен для физической оптики, так как он устанавливает предел концентрации света в пространстве.

Если диаметр светового пучка приравнять диаметру линзы, то величина DФ тем меньше, чем больше отношение диаметра линзы к ее фокусному расстоянию. Параметр D/F называется Относительным отверстием линзы. В наиболее благоприятном случае, когда D/F = 1, по формуле(5) получаем

,

Т. е. диаметр фокального пятна оказывается порядка длины световой волны. В случае пространственно некогерентного пучка величину D следует заменить параметром Dcog (ширина когерентности). При этом величина DФ, вообще говоря, увеличивается.

Из рисунков и из формулы (2) можно оценить длину фокальной перетяжки DLФ, приняв Ее равной удвоенной дифракционной длине пучка с начальным диаметром DФ:

;

Таким образом

(6)

Или, с учетом (5)

(7)

Формулы (5) и (7) следует рассматривать как оценку, полученные на основе физических соображений. Более точные выражения могут быть получены путем решения волнового уравнения при соответствующих граничных условиях.