Политех в Сети

Сайт для Учебы

5.7. Теория дифракции Кирхгофа

Рейтинг пользователей: / 3
ХудшийЛучший 

Основная задача теории дифракции состоит в отыскании структуры светового поля при наличии препятствий.

После открытия уравнений электродинамики и электромагнитной природы света была сформулирована математическая задача дифракции как задала отыскания решения волнового уравнения, удовлетворяющего определенным граничным условиям:

 + граничные условия (1)

Общий метод решения данной задачи был предложен Густавом Кирхгофом. Ему удалось показать, что дифракционный интеграл Гюйгенса-Френеля можно рассматривать как приближенное решение задачи дифракции (1). Таким образом, френелевская теория дифракции получила математическое обоснование. Рассмотрим коротко основные идеи теории Кирхгофа.

Уравнение Гельмгольца.

Поскольку в задачах дифракции интересуются пространственной структурой поля, то монохроматическое поле представлено в виде

(2)

Где - комплексная амплитуда. Подставив (2) в (1), получим, что часть поля, зависящая от координат, удовлетворяет волновому уравнению, не зависящему от времени,

(3)

Уравнение (3) называется уравнением Гельмгольца.

Простейшие решения уравнения (3) представляют собой плоскую волну

(4)

И сферическую волну

(5)

В силу линейности уравнения Гельмгольца ему удовлетворяет также произвольная совокупность плоских волн, распространяющихся во всевозможных направлениях, и произвольная совокупность сферических волн, возникающих в разных точках пространства. А поэтому в основу решения задачи дифракции (1) можно положить идею спектрального разложения, согласно которой любое световое поле можно представить в виде набора плоских или сферических волн. В теории Кирхгофа реальное световое поле представляется в виде совокупности сферических волн.

Интегральная теорема Кирхгофа-Гельмгольца

Согласно этой теореме, амплитуду поля в некоторой точке P можно вычислить, если известна амплитуда поля e и ее производная по нормали ¶e/¶N на какой-либо поверхности S, охватывающей точку Р. А именно:

, (6)

(7)

Где G - функция точечного источника, или функция Грина для уравнения Гельмгольца.

Применительно к задаче дифракции Кирхгоф предложил использовать следующие приближенные граничные условия для светового поля: в пределах отверстий поле таково, как если бы препятствий нет, а на теневой стороне экранов поле равно нулю. Ввиду малости длины световой волны эти приближенные условия обеспечивают достаточную точность вычислений.

Для задачи о дифракции сферической световой волны на отверстии теория Кирхгофа дает следующий результат:

, (8)

Где

(9)

Интеграл (8) в точности совпадает с дифракционным интегралом Гюйгенса-Френеля. Однако вид функции K(q), предполагаемый Френелем, оказывается не совсем точным. График функции (9) показан на рис. 1.

Основной вклад в дифракционный интеграл вносят центральные (приосевые) зоны Френеля, для которых q << 1. Полагая K(q) = K(0) = I/l получим

В такой форме дифракционный интеграл совпадает с интегралом Гюйгенса-Френеля. Коротко остановимся на выводе формул (8), (9).

Пусть есть точечный монохроматический источник света, расположенный в точке P0. Вычислим световое поле в некоторой точке P при условии, что между точками Р0 и Р имеется препятствие, например, экран с отверстием (рис. 2).

Согласно теории Кирхгофа-Гельмгольца, дифракционное световое поле в точке P определяется интегралом (6) по произвольной поверхности S, охватывающей эту точку. Выберем поверхность S состоящей из трех частей: поверхности x, стягивающей отверстие в экране, поверхности S1 теневой части экрана и сферической поверхности S2 достаточно большого радиуса R с центром в точке Р. Вид поверхности S показан на рис. 3.

Физические соображения показывают, что основной вклад в световое поле в точке P должен давать интеграл по поверхности x, поскольку именно через отверстие в экране свет от источника проникает в точку P. Следовательно,

, (9)

Где G - функция Грина, R - расстояние между точками M и P, - единичный вектор внутренней нормали к поверхности x в точке M. Поверхность x удобно выбрать в виде сферической поверхности с центром в точке P, где расположен точечный источник света.

Вычислим производную ¶G/¶N. Как видно из рис. 2 . Поэтому можно записать ¶G/¶N = – ¶G/¶N0. Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

;

Поскольку в оптике, как правило, R >> l и, следовательно, K >> 1/R, то это приближение, называемое Оптическим, обычно обеспечивает достаточную точность.

Как видно из рис. 4

Таким образом,

(10)

Теперь вычислим производную ¶e/¶N. Так как эта производная вычисляется в точке M на поверхности x,

,

Где A0 - постоянная, r - расстояние от точки Р0 до точки М. Выполняя вычисления подобно тому, как это было сделано для производной ¶G/¶N, получим

;

,

Так что:

(11)

Подставляя (7), (10), (11) в (6), получим (8), (9).

Показано, что приближенное решение волнового уравнения для светового поля, данное Кирхгофом, подтверждает френелевскую теорию дифракции, В настоящее время теория Френеля сохраняет свое значение, прежде всего, как система наглядных образов, хорошо раскрывающая физику дифракции света. Формулировка задачи дифракции, основанная на теории Максвелла, позволяет использовать для решения дифракционных задач хорошо разработанный аппарат математической физики, в частности, метод спектрального разложения, метод параболического уравнения, а также применять мощные и универсальные методы численного моделирования.