Политех в Сети

Сайт для Учебы

5.3. Дифракция Фраунгофера

Рейтинг пользователей: / 0
ХудшийЛучший 

Под дифракцией света понимают любое отклонение от прямолинейного распространения света, если оно не может быть истолковано как результат отражения, преломления или искривления световых волн в средах с непрерывно меняющимся показателем преломления. Дифракция приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени.

Явления дифракции для своего истолкования и количественного рассмотрения не требует никаких новых принципов. Любая дифракционная задача сводится к нахождению решения уравнений Максвелла, удовлетворяющего соответствующим граничным условиям.

Однако проблемы, возникающие при изучении дифракционных явлений, относятся к наиболее трудным в оптике, и их редко удается довести до строгого решения. В большинстве случаев, представляющих практический интерес, из-за математических трудностей приходится прибегать к приближенному методу, предложенному Френелем. Френель показал, что явление дифракции можно объяснить с помощью построения Гюйгенса и применения принципа интерференции. Позднее Кирхгоф придал исследованиям Френеля строго математическое обоснование, и с этого времени началось широкое изучение дифракции.

Согласно построению Гюйгенса каждую точку волнового фронта можно считать центром вторичного возмущения, которое вызывает элементарные сферические волны, а волновой фронт в любой более поздний момент времени - огибающей этих волн. Френель смог объяснить явление дифракции, дополнив построение Гюйгенса утверждением, что вторичные волны интерферируют между собой. Это сочетание построения Гюйгенса с принципом интерференции называется принципом Гюйгенса-Френеля.

Наибольший практический интерес представляют дифракционные явления, наблюдаемые при падении на экран (или на отверстие в экране) параллельного пучка света. В результате дифракции пучок утрачивает параллельность, т. е. появляется свет, распространяющийся в направлениях, отличных от первоначального. Распределение его интенсивности на очень большом (в пределе - бесконечно большом) расстоянии от экрана соответствует дифракции Фраунгофера. Волны, возникающие в результате ограничения фронта падающей плоской волны при прохождении сквозь отверстие в экране, называют дифрагировавшими, а нормали к их волновым поверхностям – дифрагировавшими лучами. Они не существуют в рамках геометрической оптики. Возникновение дифрагировавших волн при прохождении через отверстие означает, что волна с ограниченной площадью поперечного сечения не может быть строго плоской. Разложение волны с ограниченным фронтом на сумму плоских волн (т. е. пространственное разложение Фурье) содержит слагаемые с волновыми векторами различных направлений. Эти слагаемые и соответствуют дифрагировавшим волнам.

Практически дифракцию Фраунгофера наблюдают не в "бесконечности", а в фокальной плоскости объектива или с помощью зрительной трубы, установленной на бесконечность. Схема опыта показана на рис. 1. Падающий на экран параллельный пучок можно получить, если точечный источник S поместить в фокус линзы L1 (формирующая параллельный пучок линза L1 называется коллиматором). Каждый дифрагированный пучок параллельных лучей соберётся линзой L2 в маленькое пятнышко. Такие пятнышки – максимумы интенсивности – расположатся вдоль прямой, перпендикулярной к оси щели и лежащей в фокальной плоскости линзы L2. В этой плоскости и надо поместить экран для наблюдения.

Дифракция Фраунгофера на щели.

Рассмотрим сначала простой, но практически важный случай, когда отверстие в экране имеет вид узкой длинной щели с параллельными краями (рис. 2). Будем считать, что размер волновой поверхности в направлении вдоль щели ограничен только диаметром объектива, и если вносимую им дополнительную дифракцию не принимать во внимание, то волны дифрагируют только в направлениях, перпендикулярных щели.

Распределение интенсивности в дифракционной картине можно найти с помощью принципа Гюйгенса-Френеля. Задача состоит в определении EP в любой точке Р за экраном. При том под E будем понимать любую из компонент векторов или электромагнитного поля световой волны. Проведем мысленно поверхность, закрывающую отверстие в экране и ограниченную краями отверстия. Разделим эту поверхность на элементарные участки, малые по сравнению с размерами отверстия, но большие по сравнению с длиной волны. Эти элементарные участки представим в виде узких длинных полосок, параллельных краям щели. Если ширина полосок одинакова, то и площади их будут равными. Можно считать, что каждый из этих участков сам становится источником световой волны, распространяющейся во всех направлениях.

Напряженность, создаваемая элементарным участком в точке наблюдения Р, пропорциональна площади этого участка и напряженности на самом участке, которая создается первичным источником. Надо заметить, что при приближенном решении этой задачи по методу Френеля делается предположение, что напряженность в точках отверстия такова, какой она была бы в случае свободного распространения волны от источника при отсутствии какого бы то ни было экрана, и что в точках, находящихся непосредственно за экраном, напряженность поля равна нулю.

Так как ширина и площадь всех элементарных участков одинакова и все участки имеют одинаковый наклон к направлению наблюдения, то амплитуды вторичных волн равны. При вычислении вклада некоторого участка в результирующее поле EP нужно учесть изменение фазы вторичной волны при ее распространении от элемента к точке наблюдения. Соотношение фаз вторичных волн в точке Р будет таким же, как и в любой плоскости, перпендикулярной их направлению до линзы, например, в плоскости AB (рис. 2). Из рис. видно, что при нормальном падении света на щель начальные фазы всех вторичных источников одинаковы, так как вспомогательная поверхность, которой мы мысленно закрыли щель, совпадает с фронтом падающей волны.

С учетом всего сказанного рассчитаем полное поле в точке Р как суперпозицию полей вторичных волн от всех элементов поверхности, закрывающей щель в экране. Обозначим ширину всей щели B, а ширину каждого элементарного участка , тогда B = Ndx, где N – число элементарных участков. Направление наблюдения зададим углом j. Запишем вторичные волны от всех элементов щели. Пусть для самого крайнего элемента, расположенного вблизи края щели (точки А), имеем:

Где A0 – амплитуда вторичных волн. Вторичная волна от следующего элемента будет иметь такую же амплитуду, но она будет отставать по фазе по отношению к предыдущей волне на некоторую величину d0, т. е.

Аналогично для третьего элемента

И для N-ного

Результат суперпозиции всех вторичных волн представится формулой:

(1)

В скобках получилась геометрическая прогрессия, знаменатель которой .

Формулу (1) перепишем в виде:

(2)

Из формулы (2) следует, что амплитуда результирующего колебания в точке Р, обусловленного вторичными волнами от всей щели шириной B, определяется выражением:

(3)

Преобразуем это выражение. Понятно, что ND0 = d, где d — сдвиг фаз вторичных волн от крайних элементов щели. Его можно представить, согласно рис. 2, так:

(4)

Если число элементов N, на которые мы разбили щель, очень велико, то

,

Тогда формула (3) перепишется так:

,(5)

Где E0 = A0N амплитуда суммарного возмущения при j = 0, т. е. по направлению падающей волны; а

(6)

Тогда зависимость интенсивности дифрагировавшего света от j определяется выражением:

, (7)

Где I0 - интенсивность света при j = 0.

График распределения интенсивности по направлениям приведен на рис. 3. В центре дифракционной картины интенсивность максимальна и равна I0. При U = MP, где M = ±1, ±2, … интенсивность равна нулю. Направления j M на эти минимумы, как видно из (6), определяются условием

. (8)

Первый минимум дифракционной картины (M = 1) соответствует направлению j 1, для которого sin j 1 = l/B. Это условие легко получить без всяких вычислений. Рассмотрим две одинаковые элементарные полоски, находящиеся на расстоянии B/2. Вторичные волны от них, распространяющиеся под углом j, имеют разность хода (B/2)sin j. Если эта разность хода равна l/2, т. е. sin j = l/B, то вторичные волны гасят одна другую в результате интерференции. Вся щель состоит из таких пар элементарных полосок, поэтому при sin j = l/B интенсивность дифрагировавшего света обращается в нуль.

Между минимумами интенсивности, определяемыми условием (8), находятся максимумы различных порядков. Их положение определяется уравнением tgU = U, имеющим корни: U0 = 0; U1 = 1,43p; U2 = 2,46p;… Практически можно считать, что максимумы находятся посередине между соседними минимумами, значения интенсивности в максимумах быстро убывают с увеличением порядка. Их отношения приближенно можно выразить в виде

. (9)

Таким образом, основная часть светового потока сосредоточена в центральной дифракционной полосе между минимумами порядков M = ±1, т. е. в пределах углов – j 1 < j < j 1, где sin j 1 = l/B. Угловая ширина максимумов уменьшается при увеличении ширины щели: если j < < 1, то j 1 = l/B. Центральный максимум становится резче, первые минимумы придвигаются ближе к центру картины. При сужении щели картина расширяется, а ее яркость уменьшается. Когда B приближается к l, центральный максимум охватывает все поле зрения; освещенность экрана уменьшается от центра к краям монотонно.

Если первичный источник точечный, то каждый дифрагированный под определенным углом пучок параллельных лучей соберется линзой в маленькое пятнышко. Такие пятнышки – максимумы и минимумы интенсивностей – расположатся вдоль прямой, перпендикулярной к оси щели и лежащей в фокальной плоскости линзы.

Если в качестве источника света взять светящуюся линию или узкую освещаемую щель, то каждая точка источника даст на экране описанную выше дифракционную картину. В результате наложения таких картин каждое дифракционное пятнышко вытянется в полоску — образуется система дифракционных полос.

Дифракция на двух щелях.

Из изложенного выше следует, что положение дифракционных минимумов и максимумов определяется только направлением, но не зависит от положения щели. Поэтому при перемещении щели параллельно самой себе никаких изменений в дифракционной картине не наблюдается. Если в непрозрачном экране проделаны две идентичные параллельные щели, то они дадут одинаковые накладывающиеся друг на друга картины, вследствие чего интенсивность каждой точки экрана увеличилась бы вдвое. Такое сложение интенсивностей произойдёт только при некогерентном освещении обоих щелей. При когерентном же освещении необходимо принять во внимание взаимную интерференцию волн, дифрагировавших на обоих щелях, что приведёт к более сложному распределению интенсивностей на экране. Найдём это распределение.

Пусть обе щели имеют ширину B, разделены непрозрачным промежутком A, так что AB = D. Очевидно, что минимумы будут на прежних местах.

, (10)

M = ±1, ±2, … Ибо те направления, по которым ни одна из щелей не посылает света, не получат его и при двух щелях. Кроме того, возможны направления, по которым колебания, посылаемые двумя щелями, взаимно уничтожаются.

Такие направления определяются, как видно из рис. 4, условием

, т. е.

, (11)

K = 0, ±1, ±2, … наоборот, в направлениях, определяемых из условий

, (12)

K = 0, ±1, ±2, … действие одной щели усиливается действием другой, так что по этим направлениям соответствуют главные максимумы. Как видно из формул (11) и (12), между двумя интерференционными максимумами расположится один интерференционный минимум, если B < < D, то между дифракционными минимумами может расположиться значительное число интерференционных максимумов и минимумов.

Обозначим через E1 и E2 возмущения, создаваемые первой и второй щелями и в направлении, характерном углом j. Амплитуды этих возмущений, согласно сказанному в начале параграфа, будут одинаковы и равны , а сдвиг фаз d определяется разностью хода D = DSin j, так что

. (13)

Так что суммарное возмущение, создаваемое по этому направлению обоими щелями, можно представить так:

, (14)

Где - амплитуда суммарного возмущения.

Для интенсивности получаем

. (15)

Из анализа соотношения (15) вытекают условия образования дифракционных минимумов (10), интерференционных минимумов (11) и интерференционных максимумов (12).

На рис. 5 сплошная кривая даёт действительное распределение интенсивностей согласно формуле (15). Пунктирная кривая соответствовала бы сложению интенсивностей от обеих щелей, если бы обе щели освещались некогерентными между собой световыми пучками. Общие световые потоки сквозь щели, определяемые их площадями, заключающиеся между этими кривыми и осью абсцисс, должны быть одинаковыми во всех случаях.

Угловая ширина основной дифракционной картины по-прежнему равна 2l/B; так как и для двух щелей почти весь свет сосредоточен в области центрального дифракционного максимума.

Дифракционная решётка.

Исследование дифракции на двух щелях показывает, что в этом случае дифракционные максимумы становятся более узкими, чем в случае одной щели. Увеличение числа щелей делает это явление ещё более отчётливым.

Рассмотрим сейчас правильную структуру, состоящую из множества (до сотен тысяч) одинаковых равноотстоящих параллельных щелей, сделанных в непрозрачном экране. Такая структура называется дифракционной решёткой. Пусть дифракционная решётка имеет N щелей, ширина каждой из них B, промежуток между щелями A, период решётки D = AB. В решётке осуществляется многолучевая интерференция дифрагированных пучков света, исходящих от щелей решётки при ее когерентном освещении. Дифракционная картина наблюдается по методу Фраунгофера, т. е. либо на бесконечно удалённом экране, либо в фокальной плоскости линзы, поставленной на пути дифрагированного света.

Найдем в этой случае распределение интенсивности по углам дифракции j. Предположим, что на решетку перпендикулярно к ее поверхности падает плоская монохроматическая волна (рис. 6).

Разность хода между дифрагированными волнами, исходящими из соседних щелей решетки, будет D = DSin j а разность фаз – d = KD = KdSin j, где j — угол дифракции. Обозначим, как и раньше, через E1, возмущение, создаваемое в точке наблюдения первой щелью. Оно определяется формулой

.

Возмущения, создаваемые остальными щелями, представятся выражениями:

, , … ,

Полное поле, создаваемое по этому направлению всеми щелями, представится суммой

(16)

Модуль выражения, стоящего в квадратных скобках, определяет амплитуду суммарного возмущения.

(17)

Возведя амплитуду в квадрат, определим искомую интенсивность дифрагированного света

(18)

Где

,

Второй сомножитель в (18) описывает дифракцию на одной щели (рис. 7а). Проанализировав его, получим условие главных дифракционных минимумов:

, M = ±1, ±2, … (19)

Третий сомножитель в (18) определяет интерференцию параллельных пучков без учета дифракции (рис. 7б). Из него следуют условия главных максимумов

(20)

И условие дополнительных интерференционных минимумов:

(K = 0, ±1, ±2, …; P = 1, 2, …, N – 1) (21)

График распределения пронормированной к единице относительной интенсивности, определяемой соотношением (18), представлен на рис. 7в. Формулы (18 – 21) — основные в теории дифракционной решетки.

Условие (20) определяет направления, в которых излучения от всех щелей решетки приходят в точку наблюдения в одинаковых фазах, а поэтому усиливают друг друга. По этим направлениям получаются максимумы, интенсивность которых в N2 раз превосходит интенсивность волны от одной щели в том же направлении. Целое число K называют порядком главного максимума или порядком спектра. Из условия (20) видно, что угол j, под которым наблюдается определенный максимум, зависит не только от параметра решетки, но и от длины волны света. Это позволяет использовать дифракционную решетку для разложения излучения на монохроматические составляющие, т. е. в спектр.

Когда DSin j = KL, d/2 = KP и множитель принимает неопределённый вид.

Раскрыв неопределенность, получим на основе (18) интенсивность K-го максимума:

(22)

Подставив sin j = (KL)/D в U = (pBSin j )/l, перепишем (22) следующим образом:

(23)

Анализ этой формулы приводит к следующим выводам:

1. Интенсивность в главных максимумах в N2 раз превосходит интенсивность, создаваемую по этим направлениям одной щелью.

2. Ik ~ 1/K2 , т. е. с увеличением порядка максимума резко уменьшается его интенсивность. В решетках с профилированным штрихом можно добиться того, чтобы основной поток энергии дифрагировавшего света концентрировался в каком-то определенном направлении.

3. Интенсивность в K-ом максимуме существенно зависит от отношения B/D. При (B/D)K = K`, где K` - целое число, выражение (23) обращается в нуль. т. к. sin(K`p) = 0, т. е. интенсивность в этом максимуме равна нулю. В данном случае совпадают условия возникновения главного максимума дифракционной картины на N щелях и минимума дифракции на каждой щели. Так, например, при B/D = 1/3 выпадает каждый третий максимум в дифракционной картине, что и показано на рис. 7в.

Из выражения (18) следует, что между двумя главными максимумами должно возникать (N – 1) минимумов, когда sin(ND/2) = 0, а sin(d/2) ¹ 0, что и определяет условие минимумов (21). Между этими минимумами должна находится побочные, или дополнительные максимумы, в которых интенсивность света при достаточно большом N пренебрежимо мала по сравнению с интенсивностями главных максимумов.

Согласно формулам (20) и (21) угловое расстояние между любым главным максимумом и соседним минимумом определяется требованием, чтобы разность хода возросла на l/N, т. е. D(DSin j ) = l/N, откуда DCos j ×D j = l/N, так что D j = l/(NDCos j ). При не очень больших углах дифракции (cos j » 1) резкость главных максимумов не зависит от порядка спектра и равна

. (24)

Из формулы (24) следует, что резкость главных максимумов тем больше, чем больше Nd, т. е. чем больше общая ширина решетки. При заданном периоде решетки D резкость главных максимумов возрастает (D j уменьшается) с ростом числа штрихов N.