Политех в Сети

Сайт для Учебы

5.1. Дифракция света

Рейтинг пользователей: / 1
ХудшийЛучший 

По определению немецкого учёного Зоммерфельда дифракция – “любое отклонение распространения света от прямолинейного, не связанное с отражением или преломлением”.

В более узком смысле дифракцией называют явление огибания волной препятствия (или проникновение света в область геометрической тени).

В теории волн под дифракцией понимают всю совокупность явлений в волновом поле, возникающих при наличии препятствий распространению волны.

Используя понятие интерференции света, можно сказать, что дифракция – это интерференция в ограниченных световых пучках.

Принципиальное значение дифракции состоит в том, что она, как и интерференция, доказывает волновую природу света. Дифракция имеет большое практическое значение, поскольку она ограничивает возможности концентрации света в пространстве, определяет предел разрешающей способности оптических приборов, влияет на формирование оптического изображения и т. п.

Первое сообщение о наблюдении дифракции света было сделано Гримальди (1665г). Схема опыта представлена на рис. 1. Источник света S освещает отверстие в непрозрачном экране Э, а на плоскости П, расположенной позади экрана, измеряется освещенность. Гримальди установил, что изображение отверстия не имеет резкой границы, а происходит постепенно. Этот результат не мог быть объяснён в рамках корпускулярной теории света, согласно которой свет должен распространяться прямолинейно.

Первое объяснение дифракции света было дано Френелем в 1818г. В своём мемуаре он показал, что количественное описание дифракционных явлений возможно на основе принципа Гюйгенса, если его дополнить принципом интерференции вторичных волн. Кирхгоф в 1882г дал строгое математическое обоснование принципа Гюйгенса-Френеля.

В рамках электромагнитной теории света точное решение задачи о распространении света даётся на основе уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями, но сопряжено с большими математическими трудностями. В большинстве случаев, представляющих практический интерес, вполне достаточным оказывается приближённый метод решения задач дифракции, основанный на принципе Гюйгенса-Френеля.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля.

Согласно принципу Гюйгенса, каждую точку, в которую пришла волна от источника, можно принять за центр вторичных волн, распространяющихся во все стороны. Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением о том, что вторичные световые волны могут как усиливать, так и ослаблять друг друга, т. е. они могут интерферировать. Световое поле есть результат интерференции элементарных вторичных волн, испускаемых каждым элементом некоторой волновой поверхности – это утверждение составляет содержание принципа Гюйгенса-Френеля. Основываясь на этом принципе, Френель смог с большой точностью рассчитать распределение света в дифракционной картине, т. е. решить задачу дифракции.

Дифракционный интеграл Френеля.

Рассмотрим элементарную теорию дифракции света, построенную по принципу Гюйгенса-Френеля.

Сначала запишем математическую формулировку принципа Гюйгенса-Френеля. Введём некоторую поверхность x, охватывающую источник света S, и будем считать каждый элемент ds этой поверхности источником вторичной сферической световой волны (рис. 2). Амплитуда вторичной световой волны, достигающей интересующей нас точки P, должна быть пропорциональной амплитуде первичной волны EM, приходящей к элементу DS, а также площади самого элемента ds, и обратно пропорциональна расстоянию R от элемента DS до точки P.

Для определения результирующей амплитуды в точке P, т. е. суммы элементарных амплитуд, необходимо учесть, что колебания от разных элементов DS достигают точки P с разными фазами. Это приводит к появлению в выражении для результирующей амплитуды множителя cos(KR + a), где K = 2p/l, а a – дополнительная фаза, равная фазе первичной волны в элементе ds, притом для разных элементов она в общем случае не одинакова.

Таким образом, результирующая амплитуда напряжённости EP в точке P может быть представлена как суперпозиция элементарных амплитуд с учётом их взаимных фазовых соотношений:

, (1)

Где интегрирование проводится по всей поверхности, окружающей источник.

В интеграле (1) K(q) – некоторый “коэффициент наклона”, учитывающий то обстоятельство, что вклад элемента ds в результирующее поле зависит от ориентации данного элемента поверхности по отношению к направлению на точку наблюдения.

Формулу (1) можно записать через показательную функцию в виде:

, (2)

Где E0(P) и E0(M) – в общем случае комплексные амплитуды поля в точке P и в точке M соответственно.

Интеграл (2) носит название интеграла Гюйгенса-Френеля. Формула (2) построена на основе количественных физических соображений. Наиболее существенно то, что интеграл Гюйгенса-Френеля учитывает фазы элементарных вторичных волн, приходящих в точку P от различных элементов поверхности x, т. е. принимается во внимание интерференция вторичных волн.

Функция K(q) в (2) остаётся пока неопределённой. Френель полагал, что K(q) монотонно убывает от некоторого начального значения K(0) до нуля при изменении q от нуля до p/2. Как мы увидим дальше, многие практически важные задачи можно решить, не уточняя конкретного вида зависимости его от угла q.

В дальнейшем будем рассматривать ситуации, позволяющие в качестве поверхности x брать волновую поверхность падающей волны, что значительно упрощает расчёты, например, в формуле (2) дополнительную фазу a можно считать равной нулю, a = 0.

Зоны Френеля. Суммирование (интегрирование) амплитуд элементарных колебаний, приходящих в точку P, вообще говоря, весьма сложно. Но в простейших случаях, обладающих определённой симметрией, интегрирование, как показал Френель, может быть заменено простым алгебраическим или графическим сложением (последнее особенно наглядно).

Приближённый способ расчёта дифракционных картин основан на представлении о так называемых полуволновых зонах или зонах Френеля, на которые разбивается поверхность x, и конфигурация которых зависит от симметрии рассматриваемой задачи.

Если, например, источник S точечный, и волна изотропная, то удобно вспомогательную поверхность x выбрать в виде сферы радиуса a с центром в точке S (рис. 3).

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, данную поверхность можно рассматривать как источник вторичных световых волн с одинаковой начальной фазой. Выделим на сфере кольцевые зоны так, чтобы расстояния от границ зоны до точки наблюдения отличались на половину длины световой волны.

Обозначим границы зон буквами M1, M2, M3, …, получим:

(3)

Где l – длина световой волны, P – точка наблюдения, O – центр первой зоны (рис. 3). Заметим, что положение границ френелевских зон зависит от выбора точки наблюдения. Смысл разбиения поверхности x на зоны состоит в том, что разность фаз элементарных вторичных волн, приходящих в точку наблюдения от данной зоны, не превышает величины p. Сложение таких волн приводит к их взаимному усилению. Поэтому каждую зону Френеля можно рассматривать как источник вторичных волн, имеющих определённую фазу. Напротив, две соседние зоны Френеля действуют как источники, колеблющиеся в противофазе.

Размеры зон Френеля. Для того, чтобы оценить относительный вклад френелевских зон в интеграл (2), оценим радиусы зон и их площади.

На рис. 4 показаны точечный источник света S, точка наблюдения поля P, часть сферической поверхности x (источника вторичных волн) и внешняя граница первой зоны Френеля. Пусть a – радиус сферы, b – кратчайшее расстояние от точки P до сферы, r – радиус первой световой зоны Френеля. Из рис. 4 видно, что:

(4)

Откуда запишем:

(5)

Как правило, в оптике справедливо приближение:

,

Поэтому пренебрегая слагаемыми, которые пропорциональны l2 и x2, получим из (5) и (4):

, ,

Откуда:

(6)

Аналогичным образом находим внешний радиус M-й зоны Френеля:

(7)

Площади зон (при достаточно малых M):

, или

, (8)

Т. е. практически одинаковы. Но амплитуды колебаний, приходящих в точку P от зон, монотонно и слабо убывают из-за увеличения расстояния r до точки P от каждой следующей зоны и роста угла q между нормалью к элементам зоны и направлением на точку P.

Физическое содержание задачи почти не измениться, а формулы станут проще, если вместо сферической волны точечного источника рассмотреть плоскую световую волну. В данном случае зоны Френеля представляют собой кольца на плоскости. Их радиусы и площади можно подсчитать по формулам (7) и (8), полагая a ® ¥. Получим:

(9)

Дифракция Френеля на простейших препятствиях. Графический способ решения дифракционных задач. Спираль Френеля.

Вычисление результирующего светового поля, описываемого интегралом Гюйгенса-Френеля, сводится к суммированию световых колебаний, возбуждаемыми элементарными вторичными источниками. С математической точки зрения задача сводиться к суммированию гармонических колебаний, имеющих одну и ту же частоту, но разные амплитуды и фазы. Наглядный способ решения этой задачи – построение векторной диаграммы. Как известно, гармонические колебания с амплитудой a и фазой j можно охарактеризовать комплексной амплитудой A = AExp(IJ) либо вектором на плоскости переменных ReA и ImA, причём длина вектора равна a, а угол наклона к оси ReA равен j. Сумма нескольких гармонических колебаний частоты w с произвольными амплитудами и фазами есть также гармоническое колебание на частоте w. Действительную амплитуду и фазу результирующего колебания можно найти, откладывая по правилу сложения векторов векторы, изображающие колебания-слагаемые. После построения векторной суммы, амплитуда результирующего колебания находится как длина полученного вектора-суммы, а фаза результирующего колебания – как угол наклона этого вектора к оси абсцисс.

Спираль Френеля. Применим описанный метод для расчёта дифракционного интеграла Гюйгенса-Френеля. Сначала вычислим вклад в дифракционный интеграл, например, первой зоны Френеля. Для этого разбиваем зону Френеля на множество подзон. Разбиение производим таким образом, чтобы площади подзон были примерно одинаковы, а число подзон было достаточно большим. В этом случае вклады подзон можно изобразить векторами, которые имеют почти одинаковую длину, но разные углы наклона к оси абсцисс. Первый и последний векторы будут повёрнуты друг относительно друга на угол p – в соответствии с определением зоны Френеля. По мере увеличения радиуса вклад подзоны (и, следовательно, длина соответствующего вектора) немного уменьшается вследствие увеличения угла между нормалью к поверхности и направлением на точку наблюдения (рис. 5а).

Аналогичным образом строится вектор, изображающий вклад в дифракционный интеграл второй зоны Френеля (рис. 5б), а также первый и второй зон вместе (рис. 5в). С увеличением номера зоны, элементарные векторы, изображающие действие её подзон, становятся короче. Это отражает уменьшение общего вклада данной зоны в суммарное дифракционное поле (E2 < E1), связанное с увеличением угла наклона зоны, т. е. с фактором K(q) и увеличение расстояния r (для сферической волны).

Продолжая процедуру построения векторной диаграммы для всё большего числа зон, получаем скручивающуюся спираль. При увеличении числа подзон каждой зоны, ломанная линия векторной диаграммы всё больше приближается к гладкой кривой. В предельном случае, когда открыты все зоны Френеля, и число подзон в каждой зоне стремиться к бесконечности, получим векторную диаграмму, показанную на рис. 5г. EP – комплексная амплитуда сетового поля в точке P. Эта предельная диаграмма имеет вид гладкой скручивающейся спирали – спирали Френеля.

Рассмотрим несколько примеров.

Дифракция на круглом отверстии. Пользуясь методом Френеля, определим амплитуду световых колебаний в точке P за круглым отверстием на его оси (рис. 6). Волновая поверхность, которой мы перекроем отверстие, симметрична относительно прямой SP, поэтому её наиболее целесообразно разбивать на кольцевые зоны с центром на оси отверстия.

Поскольку фазы колебаний, возбуждаемых в точке P соседними зонами, отличаются на p, поэтому результирующая амплитуда, а значит и интенсивность, зависит от того, чёткое или нечёткое число M зон Френеля умещается в отверстии – для данной точки наблюдения P. Если число зон нечётное, в точке P наблюдается максимум, если же число чётное, то – минимум. Чтобы найти число зон, открываемых отверстием, воспользуемся рис. 7.

Если радиус отверстия R совпадает с внешним радиусом M-ой зоны (Rm = R), то отрезок CO равен:

(10)

Выразим Ha и Hb через R и соответствующие радиусы A и B + ML/2. Согласно теореме Пифагора:

.

Пренебрегая Ha2 (обычно Ha << 2A), предыдущее равенство можно записать так:

(11)

Рассуждая аналогично для правой части рис. 6, получим следующее выражение:

Пренебрегая в последней скобке слагаемыми ML и Hb по сравнению 2B, приходим к выводу что

(12)

Остаётся подставить (11) и (12) в исходную формулу (10) и получим, что:

(13)

По мере увеличения радиуса отверстия амплитуда колебаний и интенсивность света в точке P (рис. 5) изменяется не монотонно. Пока открывается первая зона Френеля, амплитуда увеличивается и достигает максимума при полностью открытой зоне (рис. 5а). Но по мере открывания второй зоны Френеля амплитуда колебаний убывает, и при полностью открытых двух первых зонах уменьшается почти до нуля (рис. 5б). Затем амплитуда увеличивается снова и так далее (рис. 8).

На рис. 8 R1, R2, … – радиусы френелевских зон. То же самое будет наблюдаться, если вместо увеличения радиуса отверстия приближать к нему точку наблюдения P вдоль линии SP (рис. 6). При этом число открываемых зон в отверстии будет увеличиваться, что лёгко понять из данного рисунка, а также следует из формулы (13).

Как видно из рис. 5г, амплитуда колебаний от полностью открытой волновой поверхности равна E¥ = E1/2, т. е. интенсивность (J ~ E2) в четыре раза меньше, чем при наличии экрана с круглым отверстием, открывающем только первую зону Френеля.

Особенно неожиданным в методе Френеля представляется вывод, что при отверстии в экране, открывающем для точки P две зоны Френеля, интенсивность с этой точке падает практически до нуля, хотя световой поток через отверстие увеличивается вдвое.

Результаты, предсказанные на основе принципа Гюйгенса-Френеля, выглядят на первый взгляд парадоксально, но они хорошо подтверждаются опытом. Эти результаты противоречат законам геометрической оптики, согласно которым интенсивность в точке P не должна зависеть от радиуса отверстия.

Дифракция на диске. Пятно Пуассона.

Предположим, что световая волна падает на круглый непрозрачный диск D радиуса R, а наблюдение ведётся в некоторой точке P, расположенной в области геометрической тени на оси диска (рис. 9а).

Оказалось, что за круглым непрозрачным диском в центре его геометрической тени интенсивность не равна нулю (рис. 9б). Если диск перекрывает лишь несколько зон, то интенсивность в центре тени почти такая же, как при отсутствии диска. Это непосредственно следует из спирали Френеля (рис. 10), поскольку если диск закрывает, скажем, 1,5 зоны Френеля, то результирующий вектор при полностью открытой волновой поверхности можно представить как сумму двух векторов:

.

Так как первые полторы зоны закрыты, то остаётся только вектор – от всех остальных зон.

Этот вектор по модулю лишь немного меньше вектора . Светлое пятно в центре геометрической тени называют пятном Пуассона. Рассматривая в своё время метод Френеля, Пуассон пришёл к выводу, что в центре тени от диска должно быть светлое пятно, но счёл этот вывод столь абсурдным, что выдвинул его как убедительное возражение против волновой теории, развиваемой Френелем. Однако это “абсурдное” предсказание было экспериментально подтверждено в опытах Араго, что свидетельствовало в пользу волновой теории света.

По мере увеличения радиуса диска r амплитуда колебаний в точке P монотонно уменьшается (рис. 11), но даже в случае достаточно большого экрана, закрывающего сразу несколько зон Френеля, интенсивность света в центре геометрической тени отлична от нуля.

Построение векторов амплитуды поля с помощью спирали Френеля, подтверждающее монотонное убывание амплитуды колебаний, представлено на рис. 12 для случаев, когда R = 0 (а), R = R1 (б), R = R2 (в), R = R3 (г).

Зонная пластинка.

(Иродов стр. 129 - 130).

Дифракция Френеля на полуплоскости и щели.

(Иродов стр. 133 - 139).

Замечания по методу Френеля.

(Иродов стр. (130 – 131) – дополнительные замечания, (стр. 133) – замечания по методу Френеля).

Свободное распространение плоской волны и нормировка интеграла Гюйгенса-Френеля.

Интеграл (2) можно использовать для количественного расчёта дифракционных картин. В качестве простой тестовой задачи целесообразно рассмотреть свободное распространение световой волны.

Введём обозначения, показанные на рис. 20. Окружим источник электромагнитных колебаний S воображаемой поверхностью x, которая представляет собой сферу радиуса a, совпадающую с волновым фронтом. Рассмотрим возмущение в точке P вне этой поверхности как результат совместного действия всех элементов ds этой поверхности. Согласно формуле (2) суммарное возмущение в точке P определяется равенством

, (16)

Где учтено, что источник испускает сферическую волну, исходная амплитуда которой E0. Для того, чтобы вычислить интеграл (16), разбиваем поверхность x на зоны Френеля. Как известно, для этого вокруг точки P построим сферы с радиусами

Где B = OP, O – точка пересечения SP с волновым фронтом.

Пусть a и b велики по сравнению с длиной волны, тогда можно предположить, что в любой зоне величина K постоянна и в зоне M равна Km. Из рисунка видно, что

Следовательно

(17)

И значит

Следовательно, вклад зоны M в E0(P) равен

Так как KL = 2p, последние два множителя сводятся к

И, следовательно,

(18)

Заметим, что вклады следующих друг за другом зон имеют разные знаки. Результирующий эффект в точке P получается суммированием вкладов от всех зон, т. е.

(19)

Ряд

Можно приближённо вычислить по методу Шустера. Сгруппируем члены этого ряда следующим образом:

Поскольку величина каждого Km лишь немного отличается от величины соседних Km – 1 и Km + 1, то можно показать, что (в зависимости от чётности M) такая сумма равна K1/2 ± KN/2.

Тогда формулу (19) перепишем в виде

, (20)

Где верхний знак берётся при нечётном N, а нижний при чётном.

Воспользовавшись (18), амплитуду суммарного колебания в точке P представим так

(21)

Для последней зоны, видимой из P, MP становиться касательной к волновому фронту, то есть g = p/2, и, как говорилось выше, для такого g величина K, по предположению, равна нулю. Следовательно KN = 0 и (21) сводится к выражению

, (22)

Показывающему, что полное возмущение в P равняется половине возмущения, обусловленного действием только первой зоны.

Если отвлечься от проведённых построений, связанных с введением фиктивных вторичных источников на поверхности x, то можно утверждать, что точечный источник S, испускающий сферическую волну, должен создавать в точке P, удалённой от него на расстояние (AB), колебания с амплитудой E0(P), определяемой равенством

. (23)

Сравнивая это выражение с (22), находим, что

, или . (24)

Множитель exp(-IP/2) можно объяснить, если предположить, что вторичные волны отстают по фазе на четверть периода от первичной волны.

Присутствие второго множителя становится понятным, если допустить, что амплитуды вторичных и первичных волн относятся как 1 : l. При этих допущениях относительно амплитуды и фазы вторичных волн принцип Гюйгенса-Френеля правильно описывает распространение сферических волн в свободном пространстве. Однако дополнительные предположения нужно рассматривать просто как удобный способ интерпретации математических выражений.

Полученные выше результаты находятся в хорошем согласии с опытом и результатами метода “векторных диаграмм”.

Полагая K(q) = K(0) = I/l, запишем интеграл (2) в виде

(25)