Политех в Сети

Сайт для Учебы

4.7. Многолучевая интерференция

Рейтинг пользователей: / 6
ХудшийЛучший 

При падении пучка света на прозрачную пластинку на её поверхности происходят многократные отражения, в результате чего с каждой стороны пластинки выходит ряд пучков с убывающей амплитудой. Рассматривая интерференционные эффекты, возникающие с такими пластинками (например, кольца Ньютона), мы пренебрегали вкладом в результирующую интенсивность пучков, испытавших больше двух отражений. Такое допущение оправдано при малой отражательной способности поверхностей. Теперь мы учтем все отраженные пучки и покажем, что при большой отражательной способности поверхностей распределение интенсивности в интерференционной картине изменяется.

Рассмотрим плоскопараллельную прозрачную пластинку с показателем преломления N2, находящуюся в среде с показателем преломления N1, и предположим, что на эту пластинку под углом j 1 падает плоская волна монохроматического света. Пусть луч CB1 (рис. 1) представляет направление распространения падающей волны.

На первой поверхности эта волна разделяется на две плоские волны: одну, отраженную в направлении B1C1 и другую, прошедшую в пластинку в направлении B1D1. Прошедшая волна падает на вторую поверхность под углом j 2 и здесь снова разделяется на две плоские волны: одну, прошедшую в направлении D1E1, и другую, отраженную обратно в пластинку в направлении D1B2. Такой процесс деления волны, остающейся в пластинке, продолжается как показано на рисунке.

Пусть E0 - амплитуда электрического вектора падающей волны. E0 может быть комплексной. Она содержит постоянную часть фазы соответствующей волновой функции. Переменная часть ее, как известно, имеет вид (). Для каждого члена совокупности отраженных или прошедших волн переменная часть фазы волновой функции отличается от такой же части фазы предыдущего члена на величину, соответствующую двукратному прохождению луча в пластинке. Эта разность фаз равна

, (1)

Где l0 — длина волны в вакууме, D — оптическая разность хода для любой пары соседних лучей. Например, для лучей B1C1 и B2C2, как видно из рис. 1,

, (2)

Где F — основание перпендикуляра, опущенного из B2 на B1C1. Если H — толщина пластинки, а j 1 и j 2 — углы падения и преломления на верхней поверхности, то

(3)

Из (2) и (3) получаем

,

А соответствующая разность фаз, согласно (1), равна

(4)

Следует также учитывать изменение фазы на p, которое, согласно формулам Френеля, происходит при каждом отражении от верхней или нижней поверхности. Полная разность фаз равна поэтому

(4¢)

Если взять любую пару прошедших через пластинку лучей (например, D1E1 и D2E2), то для них полная разность фаз определяется формулой (4). Действительно, разность фаз, соответствующая двукратному прохождению луча D2E2 в пластинке, как видно из рис. 1, будет такой же, как и раньше (4). Кроме того, луч D2E2 дважды испытывает отражение (тт. D1 и B2) в одинаковых условиях. Изменение фазы за счет отражения будет равно или 0 (если N2 > N1) , или 2p (если N1 > N2) и оно не учитывается.

Пусть для волны, идущей из окружающей среды в пластинку, r — коэффициент отражения (отношение амплитуд отраженной и падающей волны), а t — коэффициент пропускания (отношение амплитуд прошедшей и падающей волны); пусть далее r¢ и t¢ — соответствующие коэффициенты для волны, идущей из пластинки в окружающую среду. Вообще говоря, эти коэффициенты зависят от угла падения и состояния поляризация света, для границы двух прозрачных сред это было показано с помощью формул Френеля. Если мы ограничимся малыми углами j 1, то t и r практически не зависят от угла падения и от поляризации падающего света и для них можно принять значения, соответствующие нормальному падению, а именно:

(5)

На границе прозрачных сред t и r вещественны, а отрицательное значение r при N2 > N1 учитывает изменение фазы волны на p при отражении от оптически более плотной среды. Из формулы (5) легко видеть, что отражательная способность границы, или энергетический коэффициент отражения R, не зависит от того, идет свет из окружающей среды в пластинку или наоборот

(6)

И что

(7)

Поэтому комплексная амплитуда всей прошедшей волны представится геометрической прогрессией:

(8)

Мы считаем, что пластинка достаточно длинная, так что число прошедших и отраженных лучей велико. Для нахождения интенсивности прошедшей волны умножим E2 в (8) на комплексно-сопряженную величину и воспользуемся формулами (6) и (7):

, (9)

Где

Таким же способом легко получить выражение для амплитуды отраженной волны:

Здесь учтено, что r¢=-r. Для интенсивности отраженной волны находим

(10)

Соотношения (9) и (10) известны как Формулы Эйри. Из них видно, что IПр + IОтр = IПад, как и должно быть при отсутствии поглощения.

Предположим теперь, что плоские волны равной интенсивности падают на пластинку под разными, мало различающимися углами и прошедший свет собирается линзой L. В некоторой точке P её фокальной плоскости интенсивность прошедшего света относится к интенсивности в отсутствие пластинки, как IПр/IПад. Следовательно, Формула (9) дает распределение интенсивности в многолучевой интерференционной картине, наблюдаемой в фокальной плоскости линзы, там, где при отсутствии пластинки была бы равномерная освещенность. Максимумы IПр/IПад = 1 получаются при d/2 = MP (M —целое число). Подставляя сюда d из (4), получаем то же условие, что и при двухлучевой интерференции, а именно

, (11)

Соответственно для минимума

(12)

При малом коэффициенте отражения < < 1 формулы (9) и (10) дают то же самое распределение интенсивности. Это распределение, однако, существенно изменяется при увеличении R, в особенности, когда R приближается к единице. На рис. 2а приведены построенные по формуле (9) кривые интенсивности проведшего света, в зависимости от d.

При < < 1 они имеют вид, типичный для двух интерферирующих пучков. С увеличением коэффициента отражения максимумы сужаются, а в промежутках между ними интенсивность становится очень мала. Отношение интенсивности в максимумах и минимумах, характеризующее контрастность интерференционных полос, как видно из (9), определяется только коэффициентом отражения:

Многолучевая интерференционная картина в прошедшем свете при значениях R, близких к единице имеет вид узких светлых полос на почти совершенно темном фоне.

Подобное пространственное перераспределение поток энергии с концентрацией его в некоторых преимущественных направлениях всегда возникает при интерференции многих пучков. Чтобы наблюдались полосы, плоскопараллельную однородную пластинку нужно освещать рассеянным пучком, в котором имеются лучи самых разных направлений. Каждая интерференционная полоса образована лучами, падающими на пластинку под одинаковыми углами. Такие полосы носят название полос равного наклона. Так как каждая точка интерференционной полосы образована лучами, которые до прохождения линзы образуют параллельный пучок, то полосы локализованы в бесконечности (или в фокальной плоскости линзы). Полосы равного наклона имеют вид концентрических колец с центром на оси линзы. Центру картины соответствует наибольший порядок интерференции.

Аналогично, если свет, отражённый от пластинки, собирается линзой L¢, то в её фокальной плоскости так же появляются линии равного наклона. Из сравнения формул (9) и (10) следует, что IОтр + IПр = IПад, поэтому в отраженном свете наблюдается дополнительная картина, т. е. там, где в отраженном свете наблюдается максимум, в проходящем будет минимум и наоборот. Это связано с тем, что разность фаз лучей в отраженном и проходящем свете, согласно (4) и (5), различается на p. Кроме того, различным будет и качество картин. Полосы имеют вид узких темных колец на почти равномерном светлом фоне (рис. 2б). Резкость полос принято измерять полушириной интенсивности или просто полушириной максимума.

Для картины в прошедшем свете она равна расстоянию между точками, лежащими по обе стороны максимума в том месте, где интенсивность уменьшается до половины максимальной величины. Отношение расстояния между соседними полосами к полуширине называют резкостью полос и обозначают буквой F. У полосы целого порядка M Точки, где интенсивность равна половине максимальной величины находятся при

,

Где e в соответствии с (9) определяется соотношением

Когда R достаточно велико, то e настолько мало, что в последнем соотношении мы сможем принять sin (e/4) = e/4, и получим для полуширины

Так как расстояние между соседними полосами соответствует изменению d на 2p, то для резкости находим

До сих пор мы предполагали, что свет строго монохроматичен. В случае немонохроматического света распределение интенсивности равно сумме распределений интенсивностей типа (9), обусловленных каждой монохроматической компонентой. Из предыдущего ясно, что положение максимумов и минимумов зависит от длины волны монохроматической компоненты. Кроме того, при увеличении R распределение интенсивности становится более благоприятным для определения положения максимума, т. е. полосы, принадлежащие различным монохроматическим компонентам, в интерференционной картине в проходящем свете разделяются более четко. По этим причинам многолучевая интерференция находит большое практическое применение.

Интерферометр Фабри-Перо

Многолучевые интерференционные полосы, создаваемые плоскопараллельной пластинкой при почти нормальном освещении, используются в интерферометре Фабри-Перо. Основными частями его служат две стеклянные или кварцевые пластины P1 И P2, (рис. 3) с плоскими поверхностями. Внутренние поверхности пластин, покрытые частично прозрачными пленками с высокой отражательной способностью, параллельны, и воздух, заключенный между этими поверхностями, образует плоскопараллельную пластинку. Сами пластины делают слегка клиновидными, чтобы устранить вредные влияние света, отраженного внешними непокрытыми поверхностями. Пластины разделяют кольцом из инвара или кварца с тремя выступами на торцах, к которым пластины прижимаются пружинами. Кольца обработаны с большой точностью, так что положение плоскостей, заданное выступами, максимально близко к параллельному, а тонкая регулировка осуществляется изменением нажима пружин. Интерферометр такого типа с фиксированным расстоянием между пластинами называют эталоном Фабри-Перо.

Отражающими покрытиями пластин могут служить либо металлические пленки (чаще всего из серебра или алюминия) либо диэлектрические пленки из чередующихся слоев материалов с высоким и малым показателем преломления, например, сульфида цинка (= 2,3) и криолита (= 1,35).

Известно, что металлические пленки поглощают свет, поэтому использованное при выводе формул Эйри условие (7) должно быть заменено для них следующим

,

Где А — доля светового потока, поглощаемая слоем металла. Тогда, например, вместо (9) получается выражение

При прежнем характере пространственного распределения интенсивности в интерференционной картине поглощение приводит к ее общему уменьшению.

Многослойные диэлектрические покрытия мало поглощают свет и обеспечивают высокий коэффициент отражения. Но следует отметить, что коэффициент отражения таких покрытий высок только в ограниченной области длин волн вблизи длины волны l0, для которой оптическая толщина каждого слоя составляет l0/4.

Основные характеристики интерферометра Фабри-Перо

Интерферометр Фабри-Перо простой, но в то же время самый эффективный прибор высокой разрешающей способности. О результате применения непоглощающих диэлектрических слоев светосила интерферометра резко возросла, что дает возможность работать с очень малыми световыми потоками и существенно расширить число физических и технических задач, решаемых интерферометрическими методами.

Интерферометр применяется в основном как спектральный прибор, разлагая излучение источника в спектр. Его важнейшими характеристиками как спектрального прибора являются: угловая и линейная дисперсия, область дисперсии, разрешающая сила.

1. Угловая дисперсия интерферометра находится дифференцированием выражения (11) по длине волны l. Она определяет приращение угла D j при единичном изменении длины волны, Получаем для максимума порядка M:

, (13)

Откуда

Учитывая малую величину угла j (он составляет обычно сотые доли радиана) и подставляя значение M из (11), можем записать:

, (14)

Где F — фокусное расстояние объектива L (рис. 3) и R — радиус соответствующего углу j интерференционного кольца порядка M. Из (14) следует, что угловая дисперсия не зависит от расстояния между зеркалами и других параметров интерферометра. Она неограниченно возрастает при приближении к направлению нормали ( j = 0).

Знак минус в (14) показывает, что с ростом l угол j для фиксированного максимума убывает.

2. Линейная дисперсия DR, определяющая приращение радиуса колец R при единичном изменении длимы волны света, может быть подсчитана следующим образом:

(15)

Знак минус в последнем соотношении указывает, что увеличение длины волны соответствует уменьшению радиусов интерференционных колец.

3. Область дисперсии интерферометра, т. е. предельная ширина спектрального интервала Dl, входящего в эталон света, при котором еще возможно получение не перекрывающихся интерференционных максимумов. Если интерференционное кольцо M-го порядка для длины волны l + Dl совпадает с интерференционным кольцом длины волны l порядка M + 1, то при одинаковых j и R получим Dl:

, откуда

(16)

В случае малых углов имеем соответственно:

(17)

В волновых числах

(18)

Величина практически есть постоянная интерферометра. Она зависит только от расстояния между отражающими поверхностями и не зависит от длины волны падающего света.

4. Разрешающая способность интерферометра Фабри-Перо, как и вообще любого спектрального аппарата, определяется выражением A = l/dl, где dl — максимальная разность длин воли двух бесконечно узких спектральных линий, которые еще может различить аппарат.

Реальные возможности интерферометра разделять две монохроматические линии, т. е. более или менее детально исследовать спектр излучения источника, в значительной степени определяются шириной и формой его максимумов, а также зависят от точности, с которой может быть измерен наблюдаемый контур этого максимума. Поэтому количественный критерий разрешающей способности можно сформулировать только условно.

Условный критерий, удобный для сравнения разрешающей силы различных спектральных приборов, был предложен Рэлеем для случая, когда контур максимума имеет дифракционную форму.

Согласно критерию Рэлея, наименьший разрешимый интервал равен расстоянию между главным максимумом и ближайшим к нему минимумом. Две монохроматические линии одинаковой интенсивности на таком расстоянии друг от друга дают суммарный контур с двумя максимумами (рис. 4), провал между которыми составляет около 20% от интенсивности в максимумах. Благодаря провалу такой контур воспринимается как двойная спектральная линия.

Если считать критерием разрешения именно наличие провала, то можно обобщить критерий Рэлея: при любой форме контура максимума две спектральные линии одинаковой интенсивности находятся на пределе разрешения dl, если провал в суммарном контуре составляет 20%.

Нужно подчеркнуть еще раз условный характер критерия Рэлея. Если, например, интенсивность одной из линий существенно больше другой, то провал в наблюдаемом контуре может отсутствовать даже тогда, когда расстояние между ними значительно больше, чем требует критерий разрешения. С другой стороны, линии расположенные ближе, могут быть разрешены, если погрешность измерения наблюдаемого распределения интенсивности меньше 20%. Фактически возможность разрешения близких спектральных линий ограничивается шумами при измерениях: линии можно разрешить, если наблюдаемое распределение интенсивности отличается от распределения для одиночной линии больше чем на ошибку измерений.

Для интерферометра Фабри-Перо пределом разрешения dl можно считать полуширину максимума на половине высоты. Провал в наблюдаемом контуре от двух находящихся на таком расстоянии монохроматических линий составляет около 17%, т. е. это условие практически совпадает с обобщенным критерием Рэлея. Ширине контура, как было показано, соответствует изменение разности фаз на . Разность фаз d интерферирующих волн в максимуме M – го порядка равна 2MP. Изменению её на e соответствует изменение длины волны на dl = [e/(2pM)]×l, откуда для разрешающей силы l/dl находим

, где (19)

— резкость интерференционных полос.

С учетом (11) формуле (19) можно придать вид:

, (20)

Откуда видно, что разрешающая способность прямо пропорциональна толщине интерферометра H. Однако увеличение толщины интерферометра уменьшает область свободной дисперсии и угловые диаметры колец, что затрудняет работу на установке с использованием интерферометра. Поэтому выгодно увеличивать разрешающую способность за счет повышения коэффициента отражения зеркал.

Интерферометр Маха-Цендера.

Схема этого интерферометра показана на рис. 3. Полупрозрачной пластиной П1. луч света разделяется на два.

После отражения от зеркал A1 и A2 лучи света снова соединяются полупрозрачной пластиной П2, в результате частичного отражения и прохождения через неё. Интерференция этих лучей приводит к возникновению картины, аналогичной наблюдаемой в интерферометре Майкельсона. Если на пути одного из лучей помещена ячейка Q с газом или веществом, показатель преломления которого отличен от единицы, то интерференционная картина изменится. По изменению интерференционной картины и длине пути светового луча в ячейке можно с большой точностью определить относительный показатель преломления, что позволяет изучать физические процессы, которые приводят к изменению показателя преломления.

Интерферометр Тваймана-Грина

Используется для контроля качества различных компонент оптических приборов. Схема интерферометра для исследования качества призмы показана на рис. 4.

От точечного монохроматического источника S0 помещенного в фокус линзы L1, образуется плоская монохроматическая волна, которая пластиной П1 разделяется на две. После отражения от зеркал A1 и А2 они сводятся пластиной П1 и направляются к линзе L2. Если пластина П1 и зеркала А1 и A2 оптически достаточно совершенны и сохраняют постоянство разности хода различных лучей пучка с точностью до долей длины волны, то на апертуре линзы L2 будет наблюдаться равномерная освещенность. Если призма П2 является оптически высокосовершенной, то разность хода интерферирующих лучей сохраняется постоянной по всему сечению пучка и, следовательно, апертура линзы L2 будет по всему сечению освещена равномерно. Если же равномерность освещения нарушается и наблюдается интерференционная картина, то призма недостаточно оптически совершенна. По наблюдаемой интерференционной картине определяют характер несовершенств призмы и устраняют их.

Проверка качества линзы осуществляется с помощью интерферометра Тваймана-Грина по схеме, показанной на рис. 5. Поверхность зеркала A2 является сферической, отполированной с точностью до долей длины волны. Центр сферического зеркала находится в фокусе F исследуемой линзы L.

Интерферометр Тваймана-Грина позволяет обнаруживать очень незначительные несовершенства элементов оптических приборов. С его помощью удается создать почти совершенные зеркала, линзы и призмы.

Интерферометр Жамена

В результате отражения лучей от передней и задней граней пластин П1 и П2 образуются четыре луча 1–4, из которых два (лучи 2, 3) пространственно совмещены и могут интерферировать. Пластины P1 и P2 изготовлены из весьма однородного стекла или кварца для работы в ультрафиолетовой области спектра.

Задние поверхности пластин посеребрены. Пучок света от протяжённого источника падает под углом, близким к 45°, на одну из пластин. В результате отражения от передней и задней поверхностей пластины P1 возникают два параллельных пучка, разделенных тем больше, чем толще пластина. Каждый из них в свою очередь раздваивается при отражении от двух поверхностей пластины P2. Средние пучки 2, 3 налагаются и образуют интерференционную картину. Разность хода, возникающая между лучами, можно найти с помощью рис. 7.

Толщина пластины — D показатель преломления вещества пластина относительно вакуума — N. Из рис. 7 видно, что оптическая разность хода лучей равна

(1)

Учитывая, что

,

Находим

(2)

Разность хода лучей в интерферометре Жамена образуется в результате прохождения и отражения лучей в двух пластинах: П1 и П2, На основании (2) она равна , где и — углы преломления лучей в первой и второй пластинах. Если пластины строго параллельны, то D = 0. Поле зрения будет равномерно освещённым. Если одну из пластин слегка наклонить, повернув вокруг горизонтальной оси, то возникают интерференционные полосы, которые соответствуют низким порядкам интерференции и поэтому могут наблюдаться в белом свете.

По такому же принципу устроен интерферометр Рождественского (рис. 8) Роль делителей пучков внутренних граней пластин в интерферометре Жамена – играют здесь полуотражающие плоскопараллельные пластины П1 и П2, а посеребренных наружных граней пластин – зеркала A1 и A2. Это позволяет без использования толстых пластин значительно раздвинуть пучки света и ввести кюветы К1 и К2, одна из которых окружена печью (для исследования паров металлов). Пластины П1, А1 и П2, А2 установлены попарно на общих основаниях строго параллельно. Блоки из П1, А1 и П2, А2 могут быть разнесены на значительное расстояние (» 1м). Один из них наклоняется на небольшой угол поворотом вокруг горизонтальной оси. Поэтому, как и в интерферометре Жамена, наблюдаются горизонтальные полосы равного наклона, соответствующие (при отсутствии кювет) низким порядкам интерференции.

На основе такого прибора Д. С. Рождественским в 1912 г. были выполнены классические исследования зависимости показателя преломления от длины волны вблизи линий поглощения (т. е. аномальной дисперсии) в парах металла. Горизонтальные интерференционные полосы в белом свете проецируются на вертикально расположенную входную щель спектрографа. Положение светлой полосы нулевого порядка не зависит от длины волны, и поэтому в сплошном спектре, даваемом спектрографом, ей соответствует горизонтальная светлая полоса, тянущаяся вдоль всего спектра. Максимумы, соответствующие порядкам интерференции M = ±1, ±2,…, находятся для разных длин волн падающего света на разных высотах щели спектрографа. Им отвечают в сплошном спектре светлые полосы, лежащие выше и ниже нулевой полосы и расходящиеся веером от синей к красной области спектра, так как расстояние между максимумами растет с увеличением длины волны

Направим ось X вдоль нулевой полосы в спектре. Точки этой оси соответствуют разным значениям длины волны l. Ось Y направим параллельно щели спектрографа. Расстояние между интерференционными максимумами пропорционально длине волны, поэтому для ординаты полосы M - го порядка можно написать YmAmL, где A – постоянная, определяемая геометрией установки. Наклон полос Dym/DL возрастает с увеличением порядка интерференции M. Если кювету на пути одного из пучков заполнить веществом с показателем преломления NN(l) а вторую кювету откачать, то оптическая разность хода изменится на (N – 1)L и полосы сместятся вверх или вниз на расстояние A(N – 1)L. Тогда ордината полосы M-го порядка определяется выражением YmA(ML ± (N – 1)l), причем знак зависит от того, в какое из плеч интерферометра введена кювета с исследуемым веществом. Полоса нулевого порядка (M = 0), ранее удовлетворявшая условию Y = 0 (т. е. совпадавшая с осью абсцисс), теперь будет описываться уравнением Y = ±A(N – 1)L. Это значит, что нулевая полоса в определенном масштабе, зависящем от настройки интерферометра, вычерчивает зависимость (N – 1) от l, т. е. дает непосредственно кривую дисперсии. Полосы с M ¹ 0 прочертят почти подобные кривые, так как слагаемое AmL обычно невелико и изменяется с длиной волны очень медленно. Схема интерферометра Рождественского аналогична схеме интерферометра Маха-Цендера (рис. 3). Но если в интерферометре Рождественского попарно устанавливаются параллельно П1, А1 и П2, А2, то в интерферометре Маха-Цендера попарно устанавливаются А1, А2 и П1, П2