Политех в Сети

Сайт для Учебы

4.10. Корреляция и когерентность света

Рейтинг пользователей: / 1
ХудшийЛучший 

1. При точном количественном определении понятия когерентности надо учесть, что реальные световые колебания не синусоидальны. Напряженность поля в каждой точке пространства может быть представлена интегралом Фурье, т. е. в виде суперпозиции синусоидальных колебаний различных частот. Если область Dw, заполняемая этими частотами, мала по сравнению с самими частотами w, входящими в суперпозицию, то результирующее колебание и представляемый им свет называются квазимонохроматическими. Выбрав внутри интервала Dw произвольную частоту w0, запишем квазимонохроматическое колебание в виде

, (1)

Где A(T) — комплексная амплитуда, медленно меняющаяся по сравнению с быстро осциллирующей функцией . Она, конечно, определена не совсем однозначно, поскольку ее значение зависит от выбора частоты w0. Про колебание, представленное формулой (1), говорят, что оно модулировано.

При модуляции может медленно меняться (вещественная) амплитуда колебания или его (начальная) фаза. В первом случае говорят об амплитудной, во втором — о фазовой модуляции. Могут также одновременно меняться и амплитуда, и фаза. В случае квазимонохроматического света, излучаемого реальными источниками, такие изменения происходят хаотически — амплитуда и фаза являются случайными функциями времени. Поэтому при изучении реального света, в том числе и квазимонохроматического, нельзя обойдись без использования статистических методов. Для простоты мы отвлечемся от векторного характера колебаний, считая их скалярными.

Важно отметить, что из-за очень высоких оптических частот все существующие приемники света не позволяют регистрировать быстрые изменения напряженности световых полей за времена порядка периода световых колебаний. Обычно они не позволяют следить и за быстрыми изменениями световых потоков, обусловленных случайными изменениями амплитуд и фаз колебаний. Удается измерять только квадраты напряженностей световых полей, усредненные по промежуткам времени, весьма большим не только по сравнению с периодами световых колебаний, но и по сравнению со временами, в течение которых происходят случайные изменения амплитуд и фаз этих колебаний. Ниже предполагается, что световые потоки регистрируются именно такими «инерционными» приемниками. Более того, мы будем предполагать, что световые потоки в среднем стационарны, т. е. значение среднего квадрата поля в каждой точке пространства одинаково для всех моментов времени и не зависит от положения на шкале времени временного интервала, по которому производился усреднение. Квадрат поля можно представить в виде

Если положить A = A0(T)EiD(T), A0(T) и d(T) медленно меняющиеся вещественная амплитуда и фаза, то

Эта величина осциллирует во времени очень быстро и при усреднении пропадает. Результат усреднения величины (ReE)2 определяется только последним членом ½EE*. Поэтому за меру интенсивности колебаний можно принять величину <EE*>.

2. Допустим теперь, что в точку наблюдения P в момент времени T приходят два колебания от источников света S1 и S2 (рис. 1). Чтобы прийти в P в момент T, эти колебания должны выйти из S1 и S2 в более ранние момент времени T – q1 и T – q2, где q1 и q2 — времена, затрачиваемые светом на распространение от S1 и S2 до точки P. Чтобы отметить это, рассматриваемые колебания в точке P Обозначим через E1(T – q1) и E2(T – q2) соответственно. При их сложении в точке P получился результирующее колебание

Для нахождения его интенсивности в точке P умножим это равенство на комплексно сопряженное и произведем усреднение по времени. В результате получим

В силу предположения о стационарности (в среднем) световых потоков первое слагаемое справа не зависит от q1и T. Оно представляет просто интенсивность I1 первого колебания, пришедшего в точку P:

,

Где d — ширина временного интервала, по которому производится усреднение. Аналогично, второе слагаемое есть интенсивность I2 второго колебания. По той же причине последнее слагаемое (интерференционный член) не зависим от T, а также от q1 и q2 в отдельности, Оно есть функция только разности q = q1 – q2, т. е. времени запаздывания второго колебания относительно первого. Поэтому можно положить

, (2)

Где B12(q) — комплексная функция, характеризующая степень согласованности рассматриваемых колебаний в точке P. Она называется корреляционной функцией колебаний E1(T – q1) и E2(T – q2) или взаимной корреляционной функцией.

В частном случае функции E1(T – q1) и E2(T – q2) могут оказаться тождественными. Это будет, например, когда оба колебания выходят из одного и того же источника, но приходят в точку P по различным путям. Тогда B12(q) называют автокорреляционной функцией. Ее можно обозначить через B11(q), но мы чаще будем применять обозначение B(q).q = 0 автокорреляционная функция переходит в <|E1(T – q1)|2> т. е. в интенсивность колебания I1 в точке P.

Функция B12(q) зависит I1 и I2, т. е. от интенсивностей складываемых колебаний в точке P. Если положить

, (3)

То получился нормированная корреляционная функция, которая зависит только от времени запаздывания q, но уже не зависит от I1 и I2. Через эту функцию результирующая интенсивность в точке P представляется выражением

, (4)

Для квазимонохроматического света , так что

(5)

Как видно из этой формулы, величина B12(q) есть быстро меняющаяся функция времени запаздывания q. Разделив ее на столь же быстро меняющуюся осциллирующую функцию , получим уже медленно меняющуюся функцию

, (6)

Которая называемся комплексной степенью когерентности колебаний, а ее модуль |g12(q)| = |B12(q)| просто степенью когерентности колебаний в точке P.

Таким образом

(7)

Т. е. g12(q) есть нормированная взаимная корреляционная функция для амплитуд A1(T) и A2(T). Далее,

(8)

Полагая g12(q) = |g12(q)|EiD , запишем последний результат в вещественной форме:

(9)

Эта формула отличается от аналогичной формулы для строго синусоидальных колебаний добавочным множителем |g12(q)| в интерференционном члене и добавочным, медленно меняющимся слагаемым d(q) в разности фаз. Значения вещественных амплитуд |A1| и |A1| и соответствующих интенсивностей I1 и I2 не зависят от выбора промежуточной частоты w0 в спектральном интервале Dw квазимонохроматического света. Не может зависеть от выбора w0 и полная фаза w0q + d, входящая в формулу (9). Но добавочная фаза d, конечно, будет другой при другом выборе w0. Фаза w0q + d определяет наиболее быстрые изменения в пространстве интенсивности светового поля, т. е. изменения при переходе от одной интерференционной полосы к другой. Ввиду медленности изменения функции |g12(q)| ее изменениями при таком переходе можно пренебречь. Тогда в максимумах cos(w0q+d) будет равен +1, а в минимумах –1. Поэтому

Отсюда для видности интерференционных полос находим

(10)

Когда интенсивности складываемых колебаний одинаковы (I1 = I2), то V = |g12(q)|. По самому определению видность V не может быть больше единицы, а функция |g12(q)| от интенсивностей пучков не зависит. Поэтому всегда |g12(q)| £ 1. Когда |g12(q)| = 0, то V = 0, т. е. интерференционных полос не получается. В этом случае колебания называются некогерентными. Если при этом функция |g12(q)| обращается в нуль при любых значениях Q, то некогерентность называется полной. Тогда всюду II1 + I2, т. е. имеет место закон фотометрического сложения интенсивностей. Такой случай осуществляется при наложении световых пучков от независимых источников света.

Если же g12(q)¹0 то наблюдается интерференция, и колебания называются когерентными. Когерентность называется полной, когда величина |g12(q)| всюду достигает своего предельного значения 1. В этом случае интерференционные полосы наиболее контрастны, т. е. при заданных I1 и I2 видность V максимальна. Такой случай реализуется при наложении строго периодических, в частности монохроматических, пучков одинаковых периодов. Во всех остальных случаях (когда 0 < |g12(q)| < 1) говорят о частичной когерентности. При перемещении точки наблюдения степень когерентности |g12(q)| медленно изменяется. Вследствие этого медленно изменяется и видность интерференционных полос.

3. До сих пор речь шла о когерентности двух колебаний, происходящих в одной и той же точке пространства. Но можно говорить о когерентности одного и того же волнового поля в двух различных пространственно-временных точках R1(Q1,T1) и R2(Q2,T2). Этот вопрос сводится к предыдущему. Пусть Q1 и Q2 — какие-либо две точки пространства, находящиеся в рассматриваемом поле излучения (рис. 2).

Пусть они являются центрами двух бесконечно малых отверстий в непрозрачном экране, поставленном на пути распространения света. Бесконечно малые отверстия в силу принципа Гюйгенса могут рассматриваться как точечные вторичные источники, посылающие свет во всех направлениях. Возьмем за экраном удаленную точку наблюдения P. Пусть колебания, вышедшие из точек Q1 и Q2 в моменты времени T1 и T2 приходят в точку P одновременно. Тогда можно говорить о когерентности этих колебаний в том смысле, как это было разъяснено выше.

По определению мы называем колебания в точках Q1 и Q2 в моменты времени T1 и T2 (т. е. в пространственно-временных тючках R1 и R2) когерентными или некогерентными, если когерентны или некогерентны соответствующие колебания в точке P. При этом степень когерентности g(q) мы определяем той же величиной, что и для колебаний в точке наблюдения.

В частности, если пространственные точки Q1 и Q2 совпадают, но свет попадает в P различными путями, то пространственно-временные точки R1(Q1,T1) и R2(Q2,T2) отличаются только моментами времени T1 и T2. В этом случае говорят о временной когерентности. При T1 = T2 степень временной когерентности равна единице. С увеличением разности этих времен степень когерентности убывает. Максимальное значение |T1  T2|, при котором когерентность еще сохраняется, называется временем когерентности. Расстояние V|T1T2|, проходимое светом за это время, называемся длиной когерентности.

В другом крайнем случае времена T1 и T2 одинаковы, но пространственные точки Q1 и Q2 не совпадают. Тогда говорят о пространственной когерентности. Сохраняя точку Q1 неподвижной, будем поворачивать вокруг нее экран вместе с точкой Q2. Тогда точка Q2 будет перемещаться вокруг Q1, а степень когерентности |g12| будет меняться. Геометрическое место точек, где g12 обращается в нуль, есть некоторая поверхность, окружающая точку Q1. Объем, который она ограничивает, называется объемом когерентности вокруг точки Q1.

Вычисление степени временной когерентности может быть систематически использовано при определении допустимой ширины спектральной области, а пространственной когерентности — допустимых размеров источников света для возможности наблюдения интерференции.

4. Иллюстрируем понятия и свойства автокорреляционной функции и степени когерентности на простейшем примере, когда оба колебания представляются «оборванной синусоидой»: E(T) = sinw0T в интервале 0 < T < t и E(T) = 0 вне этого интервала. Перейдем к комплексной форме и примем t за промежуток времени, по которому производился усреднение. Тогда I1 = I2 = I. Произведение E(T)E*(T – q) отлично от нуля только в интервале 0 < T < t. Поэтому только при q < t функция g(q) может отличаться от нуля. При q > t она обращаемся в нуль. В первом случае

Следовательно

(11)

К тому же результату мы пришли бы, если бы предположили, что источник света излучает цуги волн одинаковой длительности t, беспорядочно следующие друг за другом, причем каждый цуг разделяется на две части, идущие к точке наблюдения различными путями. Это непосредственно следует из того, что различные цуги, испускаемые источником, статистически независимы и поэтому не интерферируют между собой. Из формулы (11) следует физически очевидный результат, что колебания когерентны, если время запаздывания q меньше длины цуга. В противоположном случае они некогерентны. Значит, t есть время когерентности колебаний.

5. Модуль функции |g12(q)| легко вычислить по формуле (10), измерив предварительно видность полос V и интенсивности I1 и I2 накладывающихся пучков в тючке наблюдения. Значительно труднее измерить добавочную фазу d, входящую в формулу (9). Особенно трудно это сделать, когда источниками света являются узкие спектральные линии. Для этого надо сравнить в одном и том же месте интерференционные картины номера интерференционных полос от рассматриваемого источника света с номерами полос от источника с частотой w0.

Для номера максимума N-й интерференционной полосы от первого источника можно написать w0q + d = 2pN. В том же месте второй источник, вообще говоря, не даст максимума. Этому мест будет соответствовать уже дробное число интерференционных полос, определяемое условием w0q = 2pN0. Отсюда d = 2p(N  N0). Таким путем в принципе можно экспериментально определись не только модуль, но и аргумент комплексной степени когерентности g12(q). Вместе с тем можно определить и корреляционную функцию B12(q).

6. Автокорреляционная функция B(q) связана важным соотношением со спектральной плотностью S(w) излучения. Для установления этой связи пишем на основании определения автокорреляционной функции:

. (12)

Подставим сюда

И поменяем порядок интегрирования по T и w. Использовав при этом формулу

,

Получим,

Но 2p/t×A*(w)A(w) есть спектральная плотность излучения S(w). Следовательно,

(13)

Эта формула представляет Фурье-разложение функции B(q), а потому

(14)

Формулу (14) можно привести к другому виду. Для этого заметим, что, ввиду стационарности светового потока, в формуле (12) пределы интегрирования можно заменись любыми другими, сохраняя только неизменной ширину интервала интегрирования. Используя это, нетрудно доказать, что автокорреляционная функция удовлетворяет соотношению B(–q) = B*(q). После этого формула (11) приводится к виду

(15)

Это соотношение можно записать в символическом виде

(16)

Понимая его в том смысле, что левая часть равенства равна вещественной части правой. Соотношение (13) позволяет найти корреляционную функцию B(q) по экспериментально измеренной специальной плотности излучения S(w). С помощью обратного соотношения (16) можно определить спектральную плотность S(w), если экспериментально определись корреляционную функцию B(q).

Именно так поступал Майкельсон, используя свой интерферометр для исследования структуры спектральных линий. Он измерял видность интерференционных полос в интерферометре и фазу d, входящую в формулу (9), и по этим данным вычислял спектральную плотность излучения S(w). В свое время из всех методов этот метод был наиболее точным. Позднее метод Майкельсона был вытеснен более простыми методами многолучевой интерферометрии.