Политех в Сети

Сайт для Учебы

3.6. Модулированные волны

Рейтинг пользователей: / 0
ХудшийЛучший 

Гармоническое колебание, описывающее волну, характеризуется амплитудой, частотой и фазой. Изменение этих параметров в процессе колебания называется модуляцией, а волны, получающиеся в процессе модуляции, называются модулированными.

Модуляция амплитуды.

Колебание с модулированной амплитудой может быть представлено в виде

(1)

Где a(T) описывает модуляцию; w - частота гармонического колебания; .

Прежде всего, рассмотрим случай, когда a(T) является гармонической функцией

(2)

С частотой W < < w. Тогда равенство (1) примет вид:

(3)

График этого колебания изображён на рис. 1.

С помощью формул для косинуса суммы и разности углов выражение (3) преобразуют к виду

, (4)

Из которого можно заключить, что спектральный состав колебания сводится к трём частотам: w, w + W, w – W (рис. 2). Частота w называется несущей, а частоты w + W, w – W — боковыми.

Если a(T) является не гармонической, но периодической функцией с периодом T = 2p/W, то её можно представить в виде ряда Фурье по частотам, кратным W. Подставив ряд Фурье в формулу (1) и преобразовав каждый из членов ряда после умножения на coswT аналогично тому, как это было сделано при переходе от (3) к (4), получим ряд, в который входят частоты w, w + NW, w – NW (N = 1,2,3,…), т. е. спектр состоит из набора частот, отстоящих друг от друга на W в обе стороны от несущей частоты w (рис. 3).

Ширина спектра определяется шириной спектра функции a(T). Если a(T) является непериодической функцией, которая представляется интегралом Фурье, то её спектр непрерывный. Подставляя в этом случае в (1) выражение для a(T) в виде интеграла Фурье и преобразовывая гармонические составляющие аналогично предыдущим случаям, получим для модулированного колебания непрерывный спектр, простирающийся в обе стороны от несущей частоты w0 (рис. 4). Таким образом. И в этом случае ширина спектра определяется шириной спектра a(T).

Модуляция частоты и фазы.

Эти два вида модуляции целесообразно рассматривать совместно, поскольку описывающие их формулы тесно связаны друг с другом, хотя структура сигналов, модулированных по частоте и фазе, существенно различается.

Соотношение между частотной и фазовой модуляциями получается как следствие записи фазы колебания через зависящую от времени (модулированную) частоту по формуле

, (5)

Где Ф(T) — фаза колебания, w(T) — модулированная частота. Начальная фаза колебаний считается равной нулю. Из равенства

(6)

Следует, что мгновенное значение частоты w(T) связано с фазой соотношением:

(7)

Формулы (6) и (7) позволяют от формул, описывающих частотную модуляцию, перейти к формулам, описывающим модуляцию по фазе.

Рассмотрим гармоническую модуляцию частоты. В этом случае имеем

, (8)

Где w0 - постоянная частота, около которой происходят колебания частоты с амплитудой Dw и частотой колебаний W. В соответствии с (6) имеем:

(9)

Это означает, что фаза модулирована по гармоническому закону с той же частотой W и амплитудой модуляции Dw/W. Если фаза модулирована по гармоническому закону

, (10)

То в результате дифференцирования (10) по времени с учётом (7) приходим к формуле

(11)

Показывающей, что частота при этом оказывается модулированной также по гармоническому закону с той же частотой w и амплитудой DFW. Гармоническая модуляция частоты w(T) и фазы F(T) показана на рис. 5, 6.

Таким образом, частотная и фазовая модуляции полностью эквивалентны только тогда, когда они полностью гармонические. При негармонической модуляции такая эквивалентность невозможна, структура сигналов, модулированных по частоте и по фазе, оказывается совершенно различной. При частотной модуляции медленным изменением сигнала (т. е. низким частотам сигнала) соответствуют большие колебания по фазе DFмакс = Dw/W в (9), а быстрым изменениям сигнала – малые. При фазовой модуляции, наоборот, медленным изменениям сигнала соответствуют малые амплитуды колебаний частоты (Dw = DFW), а быстрым изменениям — большие. Частотная и фазовая модуляции отличаются также по способу осуществления. При частотной модуляции образуется прямое воздействие на частоту колебаний генератора, при фазовой – частота колебаний генератора постоянна, а фаза модулируется при движении сигнала после генератора.

Спектр колебания с гармонической модуляцией частоты.

Рассмотрим спектральный состав частотно-модулированного сигнала с гармоническим законом модуляции

. (12)

Считая, что амплитуда модуляции мала(Dw/W < < 1), разложим (12) в ряд Тейлора по (Dw/W)sin wT И ограничимся членами первого порядка:

(13)

Таким образом, в спектре в первом приближении присутствуют лишь частоты w0, w0 + W, w0 – W, , т. е. он аналогичен спектру сигнала, модулированного по амплитуде с той же частотой. Однако такое соответствие справедливо лишь при малых глубинах модуляции. При увеличении Dw/W существенную роль начинают играть и другие составляющие спектра в частотно модулированном сигнале. Поэтому, вообще говоря, сигнал, частота которого модулирована по гармоническому закону, содержит в своём спектре бесконечное количество частот и этим принципиально отличается от амплитудно-модулированного по гармоническому закону сигнала. Частотная модуляция отличается от амплитудной также и тем, что при амплитудной модуляции связь между спектром сигнала и спектром модулированного колебания линейна. При амплитудной модуляции добавление новой частоты в спектр сигнала добавляет соответствующую частоту в спектр модулированного колебания, не изменяя амплитуд остальных частот. При частотной модуляции добавление новой частоты приводит не только к добавлению в спектр модулированного колебания многих новых частот, но и к изменению амплитуды существующих.

Спектр колебания (12) при произвольных значениях Dw/W выражается посредством функции Бесселя Jn(X) с целым индексом N и здесь не рассматривается.