Политех в Сети

Сайт для Учебы

3.5. Волновые пакеты

Рейтинг пользователей: / 1
ХудшийЛучший 

Волновой пакет, образованный двумя волнами.

Электромагнитные волны распространяются со скоростью света независимо от частоты только в вакууме. В среде скорость электромагнитной волны меньше скорости света и зависит от частоты. Зависимость скорости волны от частоты называется дисперсией.

Рассмотрим суперпозицию двух волн, частоты которых w1 и w2, а волновые числа K1 и K2:

, , (1)

Считая, что они имеют одинаковую поляризацию и распространяются в одном направлении. Фазовая скорость волны определяется из условия

(2)

Дифференцируя (2) по T, получим

(3)

(индекс “Ф” у фазовой скорости для упрощения в дальнейшем указывать не будем). Фазовую скорость в вакууме обозначим С. Фазовые скорости волн в (1), вообще говоря, могут быть и различными. Напряжённость образовавшейся в результате суперпозиции волны описывается формулой (4). Форма такой волны показана на рис. 1.

(4)

Если дисперсия отсутствует, то напряжённость имеет вид

,

Волна без изменения формы распространяется со скоростью света в направлении положительных значений оси Z, причём огибающая амплитуд, обозначенная на рис. 1 пунктирной линией, движется со скоростью света.

Групповая скорость.

Суперпозиция двух или большего числа волн с различными частотами составляет группу волн или волновой пакет. Скоростью группы волн или групповой скоростью называется скорость движения максимума огибающей амплитуды группы волн. Из условия постоянства фазы огибающей амплитуды волны (4), записанного в виде

(5)

После дифференцирования по T находим групповую скорость:

(6)

Если дисперсия отсутствует, то w1 = Ck1, w2 = Ck2, и из (6) получаем = c, т. е. групповая скорость совпадает с фазовой. При наличии дисперсии групповая скорость отличается от фазовой. В результате огибающая амплитуд и слагаемые волны движутся с различными скоростями, что приводит к изменению формы огибающей в процессе распространения волны, т. е. при наличии дисперсии волновой пакет распространяется с изменением формы.

Если частоты слагаемых волн близки друг к другу (w1 ® w2), то для групповой скорости из (6) получается формула

(7)

Она справедлива не только для двух волн с бесконечно близкими частотами, но и для произвольного волнового пакета, образованного суперпозицией бесконечного числа волн с близкими частотами, поскольку является дифференциальной.

Суперпозиция колебаний с эквидистантными частотами.

Пусть происходит N колебаний одинаковой амплитуды E0, частота которых различается на dw. Результат суперпозиции этих колебаний представляется формулой:

(8)

Суммирование этого ряда можно произвести в экспоненциальном представлении гармонических функций:

(9)

Где < w > = w + (N – 1)ew/2 — средняя частота волнового пакета.

Принимая во внимание, что NDw = Dw - полная ширина частот волнового пакета, выражение (9) можно представить в виде

(10)

В большинстве случаев, представляющих практический интерес, N > > 1 и поэтому в течение многих периодов изменения аргумента DwT/2 у синуса в числителе формулы аргумент у синуса в знаменателе формулы остаётся малым (DwT/2N < < 1), так что можно считать

Поэтому (10) можно записать в виде

(11)

График этой функции приведён на рис. 2.

Огибающая пунктирная кривая представляет изменяющуюся амплитуду колебаний в волновом пакете, основная частота которых < w > . Энергия такого волнового пакета сосредоточена в сравнительно небольшом интервале частот. Поэтому волновые пакеты называются также импульсами. Мы будем использовать оба эти названия в зависимости от обстоятельств. Максимальная амплитуда образуется в точке T = 0, когда все колебания складываются в одинаковой фазе. Через промежуток времени T, определяемый условием

(12)

Амплитуда колебаний обращается в нуль. Это время принимается за меру длительности центрального импульса. Поэтому между частотным интервалом слагаемых колебаний Dw = 2pDn и временной продолжительностью импульса существует соотношение

(13)

Где использован знак приблизительного равенства, что учитывает произвольность в определении продолжительности импульса. Такое соотношение уже было получено при анализе спектрального состава прямоугольного импульса. Ввиду универсальности соотношения (13) его часто называют теоремой о ширине частотной полосы.

Квазиплоская волна.

Плоской волной, представленной формулой вида

(14)

Может быть лишь пространственно не ограниченная во всех направлениях волна. Ограничение волны в направлении распространения приводит к её немонохроматичности, характеризуемой шириной спектра частот Dw. Ограничение волны в перпендикулярных направлениях приводит к возникновению конечной ширины спектра волновых чисел DKX и DKY (волна распространяется вдоль оси Z). Другими словами, волна с конечным поперечным сечением пучка не может распространяться строго в одном направлении, характеризуемом вектором ; имеется некоторый разброс направлений волновых векторов от среднего направления. Это явление называется дифракцией. Следовательно, плоских волн с конечным поперечным сечением не существует. Однако, если разброс направлений волновых векторов невелик, волна с большой точностью может считаться плоской и представляться в виде (14), где под понимается средний волновой вектор волны. Такая волна называется квазиплоской.

Для получения математического критерия квазиплоской волны поступаем так же, как и для установления критерия квазимонохроматической волны. Волну представляем в виде интеграла Фурье:

(15)

Если линейные размеры поперечного сечения волны, распространяющейся в направлении оси Z, велики по сравнению с длиной волны, то амплитуда F в (15) отлична от нуля лишь в узком интервале волновых чисел DKX и DKY вблизи значений KX = 0, KY = 0. Если

, (16)

То волна называется квазиплоской. Её с достаточной точностью можно представить в виде (14), понимая под Средний волновой вектор. Квазиплоскую волну можно считать плоской лишь на участке фронта волны, линейные размеры которого меньше ширины когерентности. Если же при рассмотрении некоторого явления необходимо учесть изменения фронта волны на участках, больших ширины когерентности, то её нельзя считать плоской и представлять формулой (14).