Политех в Сети

Сайт для Учебы

3.4. Статистика излучения независимых осцилляторов

Рейтинг пользователей: / 0
ХудшийЛучший 

Запишем поле излучения ансамбля осцилляторов в виде

,

Где - поле излучения отдельного осциллятора. Спроектируем вектор на оси x, y, расположенные в плоскости фронта световой волны:

, (1)

Где

(2)

Bi – угол между вектором и осью x.

Рассмотрим одну из компонент поля, например Ex. Выражение для Ex можно записать так:

, (3)

Где параметры a и b называются квадратурными компонентами колебания Ex и определяются формулами:

(4)

Помимо квадратурных компонент для характеристики поля Ex введём понятие огибающей, фазы и интенсивности. Огибающая A и Фаза j колебания Ex определяются формулами:

(5)

Интенсивностью J назовём величину

, (6)

Где знак “~” означает усреднение по периоду световых колебаний T = 2p/w, т. е.

Сравнивая (3) и (5) получим, что

(7)

Будем считать параметры bI, AI, j I в формулах (2) и (4) случайными величинами. Тогда параметры Ex, A, B, A, j и J также будут случайными. Найдём распределение вероятности этих величин.

Т. к. отдельные осцилляторы нелазерного источника света излучают свет независимо друг от друга, то это даёт основание считать параметры bI, aI, j I статистически независимыми. Обратившись к формулам (2) и (4) видим, что напряжённость светового поля Ex, а также квадратурные компоненты a и b представляют собой суммы большого числа независимых случайных величин. В силу центральной предельной теоремы теории вероятности это означает, что Ex, A, B имеют гауссово распределение вероятности:

(8)

(9)

Здесь обозначено и учтено, что

(10)

Считая квадратурные компоненты статистически независимыми, найдём двумерную плотность вероятности:

(11)

Подставляя (9) в (11), получим:

(12)

Используя правила замены переменных в распределении вероятностей и формулы (6), (7) и (12), получаем

(13)

(14)

(15)

, (16)

Где  – средняя интенсивность.

Распределение вероятности вида (14) называется распределением Рэлея. Итак, основные характеристики излучения нелазерного источника света имеют следующие распределения вероятности:

Напряжённость светового поля и её квадратурные компоненты – гауссово распределение;

Огибающая – распределение Рэлея;

Фаза – прямоугольное распределение;

Интенсивность – экспоненциальное распределение.

Графики соответствующих плотностей вероятности показаны на Рис. 2.

Напомним, для того, чтобы перейти к новой переменной (или переменным) в распределении вероятности, нужно, во-первых, сделать замену переменной в самой функции распределения вероятности и, во-вторых, умножить её на производную (якобиан преобразования) от старых переменных к новым. Для того, чтобы полученная таким образом плотность вероятности была неотрицательной, производную (якобиан) следует взять по абсолютной величине:

(17)

В одномерном случае и

(18)

В двумерном случае. Якобианом преобразования называется определитель, составленный из производных:

(19)