Политех в Сети

Сайт для Учебы

3.1. Классическая модель излучателя ЭМВ

Рейтинг пользователей: / 0
ХудшийЛучший 

До сих пор мы изучали свойства электромагнитных волн в пустом пространстве, основываясь на уравнениях Максвелла с равными нулю источниками r и . Такие уравнения без источников описывают распространение волн в пустоте, но не позволяют понять, как возникают электромагнитные волны, что является источником этих волн. Ответы на эти вопросы может дать только квантовая теория. Однако исследование именно этих вопросов и привело к открытию квантовых законов природы. Само понятие "квант" было впервые введено Максом Планком в связи с исследованием излучения нагретых тел.

Первоначально излучение ЭМВ было получено с помощью так называемого "вибратора Герца". Частота излучения вибратора Герца составляет 107 – 108 Гц. Частота видимого света порядка 1014 – 1015 Гц. Существуют ли вибраторы Герца с такими частотами? Поскольку частота излучения возрастает при уменьшении размеров вибратора, можно предположить, что элементарный источник света обладает чрезвычайно малыми размерами. Была высказана идея, что таким источником может быть атом или молекула. Обсуждение физики излучения можно провести на основе классической модели атома как системы заряженных частиц, связанных упругими силами.

Достоинство этой модели – простота и наглядность, возможность объяснись излучение света исходя из законов электродинамики макроскопических тел. Многие выводы классической теории находят качественное и даже количественное подтверждение в квантовой теории излучения.

Классическая модель атома позволяет дать теорию целого ряда явлений, возникающих при взаимодействии света с веществом: поглощение и дисперсия света, разнообразные нелинейные процессы (генерация оптических гармоник, самофокусировка света и т. д.).

Классический образ атома – пара разноименных зарядов, связанных между собой упругой силой. Как могла бы выглядеть такая система? Согласно модели, предложенной Дж. Дж. Томсоном, атом представляет собой непрерывно распределенный в некотором объеме положительный заряд, внутри которого находился электрон, удерживаемый в положении равновесия упругой электростатической силой. Будучи выведенным из положения равновесия, электрон совершает гармонические колебания, частота которых w0 определяемся зарядом и массой электрона, а также размером атома. Конкретный пример системы подобного типа (для атома водорода) показан на рис. 1а. Здесь точечный отрицательно заряженный электрон находится внутри однородного положительно заряженного шара. На рис. 1б. показана аналогичная модель, которая в большей степени соответствует современным представлениям о строении атома. В этой модели точечное положительно заряженное атомное ядро окружено "электронным облаком", которое в простейшем случае имеет вид однородно заряженного шара.

В обеих моделях при смещении центра распределенного заряда относительно точечного заряда противоположного знака возникает кулоновская возвращающая сила F = Kx, пропорциональная величине смещения X.Т. о., заряды взаимодействуют подобно шарикам, связанным пружинкой (рис. 1в).

Как известно из механики, в этом случае ускоренное движение заряда описывается уравнением гармонического осциллятора.

,

Если

X = ACosw0T,

То

(1)

Собственная частота осциллятора определяется массой электрона M и силовой постоянной K. Нетрудно вычислить эту постоянную для случая, когда распределенный заряд представляет собой однородно заряженный шар с радиусом A0 и зарядом Q. Зная напряженность электрического поля внутри шара (), получим

.

Следовательно, частота колебаний электрона в атоме Томсона определяется формулой

.

Полагая Q = 1,6×10–19 Кл, M = 9,1×10–31 кг, A0 = 0,5×10–10 м, получим w0 = 4,5×1016 с–1 , или в герцах n0 = 7,2×1015 Гц. Таким образом, частота атомного осциллятора в модели Томсона, вычисленная исходя из известных параметров атома (заряд, масса электрона, размер атома), оказывается близкой к частоте оптических колебаний.

Излучение диполя

Имея в виду классическую модель атома, рассмотрим излучение пары электрических зарядов +Q и –Q, связанных между собой упругой силой. Такую систему будем называть диполем. Основной характеристикой диполя является дипольный момент, определяемый в общем случае формулой , где и – радиус-векторы зарядов. Причем осцилляции дипольного момента обусловлены изменением расстояния между зарядами по гармоническому закону.

Строгое решение задачи об излучении диполя может быть получено путем решения уравнений Максвелла с учетом переменного тока, вызванного ускоренным движением зарядов. В курсе электродинамики показано, что это решение имеет вид

(2)

В формулах (2) – радиус-вектор, проведенный от диполя в точку наблюдения поля, – единичный вектор вдоль этого направления, C – скорость света, точка над буквой обозначает дифференцирование по времени. Решение (2) справедливо для так называемой дальней зоны, т. е. области пространства, находящейся от диполя на расстоянии много больше размера диполя и длины волны излучения.

Поле излучения диполя представляет собой сферическую волну и имеет структуру, представленную на рис. 2.

Если для каждой точки наблюдения ввести волновой вектор , направленный из начала координат вдоль вектора , то вектора , и в этой точке образуют правую тройку. Притом индукция магнитного поля сферической электромагнитной волны в каждой точке связана с напряженностью электрического поля в этой же точке тем же соотношением, что и для плоской волны.

Гармонические колебания диполя

Вычислим энергетические характеристики излучения диполя, считая, что диполь совершает гармонические колебания с амплитудой A и с частотой w0:

Так что

(3)

– единичный вектор, направленный вдоль линии, соединяющей заряды (рис. 2). Используя формулы (2) и (3), получим

(4)

– единичный вектор вдоль вектора .

(5)

Формулы (4,5) показывают, что излучение диполя линейно поляризовано, причем вектор Лежит в плоскости векторов и , а вектор перпендикулярен этой плоскости (рис. 2). Запишем вектор потока энергии

Учитывая формулы (4,5), можно записать

Из определения единичного вектора следует, что , т. к. , . Поток энергии в волновой зоне

(6)

Совпадает с направлением радиус-вектора (рис. 2). Усредняя выражение (6) по времени, получаем интенсивность излучения диполя на расстоянии R

(7)

Зависимость интенсивности от направления выражается в (7) множителем Sin2q. Максимальная интенсивность наблюдается при q = p/2 т. е. в экваториальной плоскости: максимум интенсивности соответствует направлению, перпендикулярному оси диполя. Вдоль оси диполя (q = 0) энергия не излучается. Угловое распределение излучаемой осциллирующим диполем энергии показано на рис. 3. с помощью "диаграммы направленности". Длина отрезка, проведенного из начала координат до пересечения с линией R = Sin2q, пропорциональна интенсивности распространяющейся в данном направлении волны. Распределение интенсивности по направлениям в пространстве характеризуется поверхностью, которая получается вращением кривой на рис. 3 вокруг оси OX.

Полную энергию, излучаемую диполем за 1 с по всем направлениям (мощность излучения) можно найти, вычисляя <S> через поверхность сферы радиусом R с центром в начале координат. Разобьем сферу на кольца координатными поверхностями q = Const и q + DQ = Const. Площадь такого кольца равна 2pR2SinQDQ, а значение <S> во всех его точках можно считать одинаковым. Поэтому полная излучаемая мощность

(8)

Согласно формуле (8), излучаемая осциллятором мощность пропорциональна квадрату амплитуды его дипольного момента и четвертой степени частоты (обратно пропорциональна четвертой степени длины волны). Этот закон играет большую роль в теории рассеяния света. Короткие волны рассеиваются сильнее чем длинные. Этим объясняется голубой цвет неба и красный цвет Солнца на закате.

Выражаемый формулой (8) поток излучения осциллятора через поверхность сферы не зависит от ее радиуса, т. е. через любую охватывающую осциллятор замкнутую поверхность протекает за 1 с одинаковая энергия. Этот факт объясняет характер зависимости напряженности электрического поля в формуле (2).

Радиационное затухание

Осциллятор совершает незатухающие колебания лишь в том случае, когда эти колебания поддерживаются каким-либо внешним источником. Без такого источника колебания будут затухать даже при движении в абсолютно пустом пространстве, так как осциллятор теряет энергию на излучение. Затухание колебаний атомного осциллятора, связанное с потерей энергии на излучение, получило название Радиационного затухания. Затухание колебаний можно описать, вводя в уравнение движения излучающего заряда некоторую эффективную "силу трения" таким образом, чтобы потеря энергии на излучение могла быть представлена как средняя работа этой силы. Полагая эту силу пропорциональной скорости движения заряда , уравнение движения заряда запишем в виде

Надо помнить, однако, что никаких сил сопротивления, никакой "вязкости" в обычном смысле этого слова здесь нет.

Используя полученное выше выражение (8) для излучаемой осциллятором мощности, можно сделать оценку времени жизни атома в возбужденном состоянии.

Энергия осциллятора состоит из кинетической () и потенциальной (), средние значения которых равны между собой. Полная энергия осциллятора

(9)

Пропорциональна квадрату амплитуды. Излучаемая осциллятором мощность Pизл, представляющая собой скорость уменьшения энергии (–DW/Dt) в соответствии с (8) также пропорциональна квадрату амплитуды. Выражая A2 через энергию W из (9) и подставляя в правую часть (8), получаем, что скорость уменьшения энергии осциллятора пропорциональна его энергии:

, (10)

Где

(11)

Из уравнения (10) следует, что энергия возбуждения осциллятора уменьшается вследствие потерь на излучение по экспоненциальному закону:

Здесь tЭ = 1/2g – время радиационного затухания, в течение которого энергия осциллятора уменьшаемся в E = 2,72 раз. Амплитуда A колебаний осциллятора также убывает экспоненциально:

(12)

Длительность этого процесса характеризуемся временем t затухания амплитуды: t = 1/g (время жизни колебаний), которое в два раза превышает время затухания энергии: t = 2tэ. Принимая в формуле (11) для w0 = 2pC/l0 значение, соответствующее l0  = 0,5 мкм (видимый свет), находим, что g»108 с–1, поэтому время жизни возбужденного состояния атома, обусловленное радиационным затуханием, по порядку величины равно 10–8 с. Этот результат согласуется с опытными данными. Затухание колебаний излучающего электрона, описываемое формулой

,

Представлено на рис. 4 в искаженном масштабе. За время затухания осциллятор совершает около 107 полных колебаний, период которых T»10–15 с. Время t определяет продолжительность цуга волн, испускаемых возбужденным осциллятором (неподвижным изолированным атомом).

Зависимость поля излучения E(T) отдельного атома от времени подобна зависимости, показанной на рис. 4.

В фиксированной точке пространства поле излучения имеет вид модулированного колебания и его можно приближенно записать в виде

, (13)

Где E0 и j – начальные амплитуда и фаза колебаний электрического поля в точке наблюдения, w0 и t – частота и время затухания свободных электронных колебаний.

Рассмотрим спектральный состав модулированного колебания (13), т. е. спектральный состав излучения, представляющего собой одиночный затухающий волновой цуг конечной длительности.

Естественная ширина линии излучения

Полагая в (13) начальную фазу равной нулю, напряженность поля в волне, испускаемой затухающим осциллятором, представим в виде

(14)

Где постоянная g = 1/t определяется соотношением (11). Для нахождения спектра излучения выполним обратное преобразование Фурье

(15)

Для вычисления интеграла (15) удобно CosW0T выразить через показательные функции

,

Тогда

(16)

Рассчитаем первый интеграл

И рассмотрим функцию – спектральную плотность энергии с учетом только одного слагаемого

(17)

Согласно (17), S(w) имеет максимум в точке w = w0. При g << w0 максимум очень острый. Поэтому в интересующей нас области положительных частот вкладом второго слагаемого из (16) в функцию S(w) можно пренебречь. Описываемая выражением (17) форма спектральной линии излучения называется Лоренцевским контуром (рис. 5).

Пунктиром представлен контур линии в области отрицательных частот с максимумом при w = –w0 , обусловленный вторым слагаемым формулы (16). Как видно из рис. 5, кривая имеет максимум при w = w0 (в области положительных частот, т. е. на частоте собственных колебаний в отсутствие затухания. Уширение спектра излучаемых частот обусловлено радиационным затуханием свободных колебаний осциллятора. Плотность энергии уменьшается вдвое для частот, отличающихся от w0 на g = 1/t. Отсюда для ширины линии на половине высоты находим Dw = 2g = 2/t. Это значит, что ширина полосы излучаемых частот Dn связана с характерной длительностью цуга t соотношением: Dnt~1: чем меньше длительность процесса испускания, тем шире спектр частот. Так как Dw = 2g<<w0, то излучаемый свет можно назвать Квазимонохроматическим.

Рассмотренный пример позволяет оценить обусловленную радиационным затуханием естественную ширину спектральных линий излучения свободных атомов. Так как время жизни возбужденного состояния составляет около 10‑8 с, то для естественной ширины получаем Dn ~ 108 Гц. В шкале длин волн оценка естественной ширины спектральной линии дает Dl ~ 10–5 нм. На практике, однако, редко можно наблюдать столь узкие спектральные линии. Обычно естественное уширение маскируется другими, более сильными механизмами уширения.

Как видно из формулы (15) частотный спектр излучения определяется характером изменения во времени напряженности светового поля E(T). Вид этой зависимости, в свою очередь, определяется наряду с радиационным затуханием колебаний такими физическими факторами как тепловое движение осцилляторов (атомов), столкновения, сбивающие фазу колебаний, разброс осцилляторов по частотам и т. п. Каждый из этих факторов обусловливает свой механизм уширения спектральной линии: доплеровское, столкновительное, неоднородное уширение и т. п. Прежде чем рассмотреть некоторые механизмы уширения, остановимся на описании излучения реальных источников света, состоящих из огромного числа отдельных осцилляторов (атомов и молекул).