Политех в Сети

Сайт для Учебы

2.3. Поляризация электромагнитных волн

Рейтинг пользователей: / 2
ХудшийЛучший 

Выше на основе уравнений Максвелла было показано, что в бегущей плоской электромагнитной волне векторы и в каждой точке и в каждый момент времени образуют с волновым вектором правую тройку векторов. В этом заключается свойство поперечности электромагнитных волн.

Выберем ось Z системы координат вдоль волнового вектора . Тогда у векторов и могут быть отличны от нуля только проекции на оси X и Y . Уравнения Максвелла допускают, в частности, такое решение, когда у вектора во всех точках и во все моменты времени отлична от нуля только одна проекция, например EX(Z,T). Вследствие упомянутого выше свойства поперечности, у вектора отлична от нуля только проекция на ось Y, т. е. By(Z,T). Мгновенный «снимок» такой волны, показывающий векторы и в разных точках оси Z в один момент времени приведён на рис. 1.

В таком случае говорят, что волна имеет линейную, или плоскую, поляризацию. В плоскости, перпендикулярной направлению распространения, концы векторов и за период описывают две взаимно перпендикулярные линии, длина которых определяется удвоенной амплитудой соответственно электрической и магнитной составляющих поля. Плоскость, в которой лежит вектор напряжённости электрического поля волны и волновой вектор , называют Плоскостью Поляризации или плоскостью колебаний. Чтобы представить себе изменения электрического и магнитного полей с течением времени, можно считать, что вся система векторов на рис. 1 движется как целое вдоль оси Z со скоростью C.

Эллиптическая поляризация

В рассмотренном примере линейно поляризованной волны предполагалось, что вектор во всех точках направлен параллельно или антипараллельно оси X (см. рис. 1). В общем случае у плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси Z, отличны от нуля обе компоненты Ex и Ey, а вектор электрического поля имеет вид

Рассмотрим плоскую волну, компоненты электрического поля которой изменяются по гармоническому закону

(1)

, (2)

Где d — сдвиг фаз между колебаниями.

Найдём уравнение траектории, по которой движется конец вектора в плоскости Z = Const. Перепишем (2) в виде

И с помощью (1) исключим из этого равенства cos (w– Kz) и sin (w– Kz):

(3)

Напомним, что амплитуды E10 И E20 предполагаются положительными числами. Перенесём первое слагаемое правой части (3) на левую сторону, делим обе части на E20 и возводим их в квадрат.

Раскрываем скобки и приводим уравнение к виду

(4)

Соотношение (4) является уравнением конического сечения. Оно имеет форму эллипса, так как соответствующий детерминант неотрицателен, т. е.

.

Эллипс вписан в прямоугольник, стороны которого имеют длины 2E10 и 2E10 (рис. 2). Эллипс касается сторон прямоугольника в точках AA¢ E10, ±E20cosd) и BB¢ E10cosd, ±E20).

Итак, в общем случае при распределении плоской монохроматической световой волны конец вектора в плоскости = const описывает эллипс. Аналогично ведёт себя и вектор напряжённости магнитного поля. Такая волна называется эллиптически поляризованной.

Представить себе электрическое поле такой волны при фиксированном T можно так: на поверхности прямого эллиптического цилиндра проведена винтовая линия, начала всех векторов находятся в точках оси цилиндра, концы — на винтовой линии, причём сам вектор везде перпендикулярен оси.

Правая и левая эллиптические поляризации

Двигаясь по эллипсу в плоскости = const, конец вектора может вращаться по часовой или против часовой стрелки. Для того чтобы различить эти два состояния, в оптике вводят понятия Правой поляризации (для наблюдателя, смотрящего навстречу световому лучу, вращение происходит по часовой стрелке) и Левой поляризации (вращение вектора в противоположном направлении). Покажем, что направление вращения вектора зависит от знака разности фаз d. Выберем момент времени T0, для которого wT0 – Kz = 0. В этот момент, согласно формулам (1) и (2),

,

Так что

(5)

Из формул (5) видно, что в тот момент, когда конец вектора достигает крайней правой точки своей траектории (рис. 2), имеем DE/DT < 0, если 0 < d < p, и DE/DT > 0, если – p < d < 0. Очевидно, что первый из этих случаев соответствует право поляризованной волне, а второй — лево поляризованной.

Итак, в общем случае плоская монохроматическая волна имеет правую или левую эллиптическую поляризацию. Полная характеристика эллипса поляризации даётся тремя параметрами E10, E20 и d. И, как видно из рис. 2, оси эллипса могут быть не параллельны осям OX И OY. Однако если заданы E10, E20 и разность фаз d, относящиеся к произвольному положению осей, и если a (0 < a £ p/2) — угол, определяемый соотношением

,

То главные полуоси эллипса A И B и угол y (0 < y £ p/2), который большая ось образует с осью Ox, находятся из формул

, (6)

Где c (-p/4 £ c £ p/4) — вспомогательный угол, определяющий форму и ориентацию эллипса колебаний, а именно:

(7)

Численное значение Tg C определяет величину отношения осей эллипса, а знак при c характеризует два варианта, которые можно использовать при описании эллипса. Из последней формулы (6) видно, что при правой эллиптической поляризации, когда sin d > 0, то угол c меняется в пределах 0 < c £ p/4, что соответствует знаку "+" в формуле (7). Соответственно для левой поляризации — знак "–".

Параметры A, B и y можно определить на опыте, а, зная эти величины, по формулам (6) можно рассчитать амплитуды E10, E20 и разность фаз d.

Линейная и круговая поляризации

Наиболее важны два частных случая, когда эллипс поляризации вырождается либо в прямую, либо в окружность.

Согласно (1) и (2) эллипс переходит в прямую при

.

Тогда

,

И мы говорим о линейной поляризации.

На рис. 3а показаны два возможных направления поляризации в плоско поляризованной волне, соответствующие d = 0 и d = p.

Другой важный специальный случай — случай круговой поляризации волны, когда эллипс вырождается в круг. Ясно, что необходимое условие этого заключается в превращении описанного прямоугольника в квадрат, т. е.

Кроме того, одна из компонент должна равняться нулю, когда другая достигает максимального значения. Отсюда следует, что

И уравнение (4) переходит в уравнение окружности

.

В случае правой поляризации sin d > 0, так что

,

,

Где

. (8)

В случае левой поляризации sind < 0, так что

,

,

Где

. (9)

Из формул (8) и (9) следует, что

.

Это означает, что сумма право - и лево- поляризованных волн даёт линейно поляризованную волну.

Если вместо вещественного представления воспользоваться комплексным, т. е. вместо косинусов в (1) и (2) использовать экспоненциальные функции

и ,

То

,

И из знания этого отношения сразу же можно определить характер поляризации:

А) Линейная поляризация

.

Б) Правая круговая поляризация электрической волны

,

.

В) Левая круговая поляризация

,

.

В более общем случае можно показать, что для правой эллиптической поляризации мнимая часть отношения EY/Ex положительна, тогда как для левой эллиптической поляризации она отрицательна.

На рис. 3б показана круговая поляризация, на рис. 3в эллипсы поляризации при разных значениях d.

Параметры Стокса. Сфера Пуанкаре.

Как уже отмечалось, для определения эллипса поляризации необходимы три независимые величины, например амплитуды E10, E20 и разность фаз или малая и большая оси A, B и угол y, характеризующий ориентацию эллипса. Для практических целей состояние поляризации удобно задавать некоторыми параметрами, обладающими одинаковой физической размерностью. Такие параметры были введены Стоксом, и для любой волны их можно определить из простых экспериментов.

Для плоской монохроматической волны параметрами Стокса служат четыре величины.

(10)

Лишь три из них независимы, так как справедливо тождество

(11)

Очевидно, что параметр S0 пропорционален интенсивности волны. Параметры S1, S2, S3 простым образом связаны с углом y, характеризующим ориентацию эллипса, и углом c, характеризующим эллиптичность и направление вращения. Справедливы следующие соотношения:

. (12)

Например, последнее из уравнений можно получить, используя ранее записанные соотношения:

,

,

,

;

И тригонометрические формулы

.

Следовательно,

.

Выражения (12) подсказывают простое геометрическое представление различных состояний поляризации: S1, S2, S3 можно рассматривать как декартовы координаты точки P на сфере S радиуса S0, причём 2c и 2y являются сферическими угловыми координатами этой точки (рис. 4). Каждому возможному состоянию поляризации плоской монохроматической волны заданной интенсивности (S0 = Const) соответствует одна точка на сфере S, и наоборот.

Так как угол c (или sin(2c)) положителен или отрицателен в зависимости от того, имеем ли мы дело с правой или левой поляризацией, то из последнего уравнения соотношения (12) следует, что правая поляризация представляется точками на S, лежащими выше экваториальной плоскости, а левая — точками на S, лежащими ниже этой плоскости.

Для линейно поляризованного света разность фаз равна нулю или целому, кратному p. Тогда, согласно последнему уравнению соотношений (10), параметр Стокса S3 равен нулю, так что линейная поляризация представляется точками на экваториальной плоскости.

Правая круговая поляризация представляется северным полюсом (E10 = E20 = E00, S1 = 0, d = p/2, S2 = 0, S3 = S0), а левая поляризация — южным полюсом (E10 = E20 = E00, S1 = 0, d = – p/2, S2 = 0, ). Такое геометрическое представление различных состояний поляризации точками на сфере было предложено Пуанкаре. Оно чрезвычайно полезно в кристаллооптике для определения влияния материальных сред на состояние поляризации проходящего через них света. Сфера S называется сферой Пуанкаре.

В плоской монохроматической волне напряженность электрического поля (а также и магнитного поля ) есть Регулярная Функция Координат И Времени. Такая волна называется полностью поляризованной или просто поляризованной. Мы дали исчерпывающее представление о состояниях поляризации такой волны. Показали, что в общем случае такая волна поляризована эллиптически, а характеристики эллипса поляризации определяются амплитудами и фазами ортогональных компонент светового поля EX и EY.

Немонохроматический свет. Матрица когерентности.

Конечная ширина, или как принято говорить Апертура (от лат. Apertura — отверстие) реальных световых пучков, определяемая размерами линз, зеркал или оправ оптических деталей, и немонохроматичность света приводят к отличиям от этой идеальной картины. Если свет лазера бывает близок по своей структуре к поляризованной волне, то поляризация излучения не лазерного источника света испытывает быстрые хаотические изменения во времени.

Поле немонохроматической световой волны естественно рассматривать как случайный процесс. Для такой волны направление вектора в плоскости фронта волны случайным образом меняется с течением времени. Если при этом все направления оказываются равновероятными, то свет называется неполяризованным или естественно поляризованным. Таков, например, солнечный свет или свет лампы накаливания. Если же существует некоторое преимущественное направление вектора , то говорят, что свет частично поляризован.

Световое поле плоской немонохроматической волны со средней частотой v, распространяющейся вдоль оси Z, можно представить в виде

,

Где

.

Амплитуды ортогональных компонент поля E0x и E0y могут быть комплексными, и, рассматривая их как случайные функции времени, вводится матрица когерентности световой волны

Где угловые скобки обозначают усреднение по времени. Элементы этой матрицы могут быть измерены экспериментально. Матрица когерентности характеризует поляризацию плоской немонохроматической световой волны.