Политех в Сети

Сайт для Учебы

2.2. Принцип Суперпозиции

Рейтинг пользователей: / 6
ХудшийЛучший 

Согласно этому принципу световые волны разных частот и разных направлений распространяются в вакууме независимо друг от друга. Можно указать простые эксперименты, наглядно иллюстрирующие принцип суперпозиции. Так, через одно и то же отверстие в экране два наблюдателя могут видеть разные объекты.

Математически принцип суперпозиции является следствием линейности волнового уравнения, описывающего распространение световых волн в вакууме. В самом деле, если поля Е1, Е2, … являются решениями волнового уравнения, то его решением оказывается и сумма полей

В этом можно убедиться, подставляя, например, в волновое уравнение плоские волны вида

При этом волновое уравнение распадается на независимые уравнения для отдельных волн.

Почти тривиальный в электромагнитной теории, принцип суперпозиции для сторонников корпускулярной теории света был непонятен, так как корпускулы, принадлежащие разным световым пучкам, должны как-то взаимодействовать, рассеиваться друг на друге.

Для световых волн, распространяющихся в материальной среде, современная лазерная оптика даёт много примеров сильных нарушений принципа суперпозиции. С помощью лазеров получены громадные плотности потока энергии, порядка S~1020 Вт/м2, что даёт значение напряжённости электрического поля световой волны, сравнимого с внутри атомными полями E~109В/м. Квантовая электродинамика предсказывает нарушение принципа суперпозиции для световых волн, интенсивность которых очень большая даже по современным меркам. В очень мощных световых полях должно наблюдаться рассеяние света на свете и в вакууме.

Применяя принцип суперпозиции, можно показать, что две плоские монохроматические бегущие волны с одинаковой частотой, распространяющиеся в одном и том же направлении, в результате сложения дают также плоскую монохроматическую волну той же частоты, распространяющуюся в том же направлении. Если волны имеют разные частоты или различные направления распространения, то в результате их сложения не будет получена монохроматическая бегущая волна. Рассмотрим два примера:

Биения.

Биения – периодические во времени изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами. Биения появляются вследствие того, что величина разности фаз между двумя колебаниями с различными частотами всё время меняется так, что оба колебания оказываются в какой-либо момент времени в фазе, через некоторое время в противофазе и т. д. Соответственно амплитуда результирующего колебания периодически достигает максимума, равного сумме амплитуд складываемых колебаний, то минимума, равного разности этих амплитуд (рис. 1).

При сложении двух бегущих в одном направлении волн с близкими частотами и волновыми числами биения возникают не только во времени, но и в пространстве.

Рассмотрим случай сложения двух монохроматических волн, имеющих частоты w1 и w2 и распространяющихся в одном направлении. Векторы в этих волнах коллинеарны. Для определённости ось OZ совместим с направлением распространения волн, а ось OX совместим с направлением вектора волны, т. е. предположим, что ( ЕX, 0, 0), а ( 0, Вy, 0). Чтобы не загромождать изложения, будем следить за вектором , поскольку поведение вектора определяется по вектору с помощью соотношений между векторами плоской волны (правая тройка). Кроме того, предположим, что амплитуды напряжённостей электрического поля слагаемых волн одинаковы:

(1)

В соответствии с принципом суперпозиции имеем:

, (2)

Где использована формула сложения косинусов. Учитывая, что K1 = w1/C, K2 = w2/C, представим (2) в виде:

(3)

Который показывает, что результирующее электромагнитное поле распространяется без затухания в направлении положительных значений оси OZ со скоростью C (об этом свидетельствует наличие комбинации (TZ/C) в аргументе функции). В этом смысле речь идёт о бегущей волне, однако не монохроматической. Учитывая, что в пределах оптического диапазона всегда соблюдается соотношение |w1 – w2| < < (w1 + w2) можно дать следующую наглядную интерпретацию такой волны: результирующая волна с частотой (w1 + w2)/2 и волновым числом (K1 + K2)/2, которые близки к частоте и волновому числу любой из компонент, имеют амплитуду, которая модулирована в пространстве и времени меняющейся огибающей с частой (w1 + w2)/2 и волновым числом (K1 + K2)/2. На рис. 1 сплошной линией показаны колебания частоты (w1 + w2)/2, а пунктирной – огибающая амплитуды колебаний, изменяющихся от максимального значения 2Е0 до нуля. Если амплитуды Е10 и Е20 полей слагаемых волн не равны друг другу, то амплитуда суммарной волны изменяется от Е10 + Е20 до Е10 – Е20.

Частота биений равна разности частот складываемых компонент

При сложении двух волн с равными частотами и разными, но близкими по направлению волновыми векторами биения возникают только в пространстве в результате интерференции волн (так называемый муар). Именно такую структуру имеют волны во френелевской зоне излучателей, а также волны в различных волноводных системах.

Колебания в виде суперпозиции колебаний (или волн) с близкими частотами могут возникнуть в нелинейных системах. Так, если на нелинейное устройство, например, квадратичный детектор, подать сумму двух колебаний, получим:

???

Последнее слагаемое – колебание с разностной частотой??? – называется разностным тоном или тоном биений. Измерение тона биений лежит в основе точных измерений малых разностей двух близких частот, в частности сравнения некоторой измеряемой частоты с эталонной.

Стоячие волны.

В изученных выше бегущих электромагнитных волнах электрическое и магнитное поля направлены перпендикулярно друг другу и в каждой пространственной точке изменяются с течением времени совершенно одинаково. Однако это свойство электромагнитных волн не универсально. Иными свойствами обладают Стоячие волны. Например, они образуются в резонаторах оптических квантовых генераторов (лазеров). Для таких волн характерны пространственное разнесение и сдвиг во времени колебаний электрического и магнитного полей.

Стоячие волны, как частный случай интерференции, возникает при наложении двух распространяющихся навстречу бегущих монохроматических волн одинаковой частоты, амплитуды и поляризации. Такая картина получается, например, при полном отражении волны от границы.

Рассмотрим структуру электромагнитного поля стоячей волны, создаваемой наложением встречных линейно поляризованных плоских волн. Ось OZ располагаем по направлению распространения волны, а ось OX пусть будет коллинеарна направлению вектора . Так как волны распространяются навстречу друг другу, но для каждой из них векторы , и образуют правую тройку, то одни из векторов или второй волны должны иметь направление обратное тому, что было у первой волны. Будем считать, например, что векторы напряжённости электрического поля в обеих волнах коллинеарны, а вектора направлены противоположно друг другу (рис. 2). Тогда нетрудно записать, что

(4)

В результате суперпозиции этих двух бегущих волн образуется волна, напряжённость электрического поля которой равна

(5)

Видно, что эта волна не является бегущей, поскольку отсутствует характерный для неё множитель (T ± Z/c). Сомножитель cos(wT) показывает, что напряжённость во всех точках изменяется с одинаковой частотой в одной и той же фазе. Такая волна называется Стоячей. Сомножитель 2Е0соs(KZ) с точностью до знака можно рассматривать как амплитуду колебаний напряжённости поля в точке Z. Она изменяется от точки к точке по гармоническому закону. В точках оси Z, удовлетворяющих условию соs(Kz) = 0, напряжённость E тождественно равна нулю. Эти точки называются Узлами. Точки, для которых соs(Kz) = ±1, имеют максимальную амплитуду колебаний. Они называются Пучностями. Расстояние DZ между соседними узлами (или между пучностями) находится из условия KDZ = p и равно DZ = l/2, т. е. половине длины бегущей волны.

Магнитная индукция В полей волн также складывается в соответствии с принципом суперпозиции полей. Магнитная индукция поля результирующей волны, согласно формулам (4) и рис. 2, равна

(6)

Т. е. выражается формулой, аналогичной (5), но с заменой косинуса на синус. Это означает, что колебания магнитного поля также представляет собой стоячую волну, узлы которой совпадают с пучностями стоячей волны электрического поля. Следовательно, пучности и узлы магнитного поля сдвинуты вдоль оси Z на четверть длины волны по отношению к пучностям и узлам электрического поля. Из сравнения (5) и (6) также видно, что по времени колебания магнитного поля отличаются на четверть периода от колебаний электрического поля. Это означает, что если, например, в момент времени T = 0 напряжённость электрического поля максимальна и распределена в пространстве по закону 2Е0соs(Kz) (рис. 3а), то индукция магнитного поля всюду равна нулю.

Спустя промежуток времени Т/8 (Т = 2p/w – период колебаний) напряжённость электрического поля Уменьшится до значения , а индукция магнитного поля, Возрастая, достигает значения (рис. 3б). К моменту времени Т/4 напряжённость электрического поля всюду обращается в нуль, а индукция магнитного поля достигает максимального значения 2В0sin(Kz) (рис. 3в).

Плотность потока энергии волн описывается вектором Умова-Пойнтинга . Следовательно, поток энергии отсутствует в точках, где либо , либо Равны нулю. Значит, поток энергии в стоячей электромагнитной волне отсутствует через узлы и пучности в волне, поскольку пучность напряжённости электрического поля совпадает с узлом индукции магнитного поля и наоборот. Поэтому между соседними узлами и пучностями энергия движется с течением времени, превращаясь из энергии магнитного поля в энергию электрического поля и наоборот.

Опыты Винера.

Первые опыты по наблюдению стоячих волн были выполнены Винером в 1890 г. В этих опытах стоячая волна возникала при отражении от плоского металлического зеркала падающего нормально почти монохроматического света. Условия отражения от идеального проводника таковы, что первый узел электрического поля стоячей волны должен располагаться на поверхности зеркала. Для регистрации положения пучностей стоячей волны использовалось действие света на фотографическую эмульсию, содержащую светочувствительные кристаллические зёрна бромистого серебра. Под действием света начинается разложение бромистого серебра, что приводит к почернению (после процесса химического проявления) тех участков фотоэмульсии, которые были освещены. В соответствии со слоистым распределением амплитуд колебаний электрического и магнитного полей в стоячей световой волне почернение фотоэмульсии должно тоже происходить слоями, расстояние между которыми l/2, т. е. слои очень близки друг к другу.

Трудность наблюдения столь близких слоёв Винер преодолел, расположив очень тонкий светочувствительный слой (~l/20) на поверхности стеклянной пластинки под очень малым углом j (около 1΄) к поверхности зеркала (рис. 4). Этот слой пересекается с плоскостями пучностей по параллельным прямым, расстояние между которыми АВ равно l/(2sin j ). При l = 0,5 мкм и j = 1΄ расстояние между полосами почернения на пластинке составляет около 1 мм. Опыт показал, что первая полоса почернения фотоэмульсии не совпадает с зеркалом, а отстоит от него на расстояние l/4 (по нормали). Как раз здесь располагается пучность электрического поля стоячей волны и узел магнитного поля. Этот результат однозначно показывает, что фотохимическое действие света обусловлено электрическим полем световой волны.