Политех в Сети

Сайт для Учебы

2.1. Электромагнитная природа света. Свойства электромагнитных волн

Рейтинг пользователей: / 2
ХудшийЛучший 

Существование электромагнитных волн было предсказано теоретически Максвеллом как прямое следствие из уравнений электромагнитного поля. Скорость электромагнитных волн в вакууме оказалась равной величине . Её числовые значения почти совпало со скоростью света в вакууме, равной, по измерениям Физо в 1849 г. 3,15× 108 м/с. Другое важное совпадение в свойствах электромагнитных волн и света обусловлено поперечностью волн. Поперечность электромагнитных волн следует из уравнений Максвелла, а поперечность световых волн – из экспериментов по поляризации света (Юнг 1817г.). Эти два факта привели Максвелла к заключению, что свет представляет собой электромагнитные волны.

Волновое уравнение.

Уравнения Максвелла для вакуума при отсутствии токов (J = 0) и зарядов (r = 0) и имеют следующий вид

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Где e0 и m0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные. Уравнение (1) показывает, что магнитное поле порождается переменным электрическим полем. Уравнение (2) представляет собой математическую формулировку закона электромагнитной индукции. Следующее уравнение выражает факт отсутствия статического электрического поля в вакууме. Уравнение (4) постулирует отсутствие магнитных зарядов. Применяя к обеим частям уравнения (1) операцию Rot, получаем

, (6)

Где учтены соотношения (5) и принято во внимание, что порядок дифференцирования по независимым переменным (пространственным координатам и времени) можно изменить. Применяя известное из векторного анализа соотношение для дифференциальных операторов, запишем

Здесь D – оператор Лапласа, который в декартовых координатах записывается в виде

Поскольку в рассмотренном случае то из соотношения (6) с учётом уравнения (2) получаем уравнение для вектора :

, (7)

Где - скорость света в вакууме.

Аналогично, применяя операцию rot к обеим частям равенства (2), получим уравнение для оператора :

(8)

Уравнения (7), (8) линейны по полю. Поэтому они эквивалентны совокупности скалярных уравнений такого же вида, в каждое из которых входит только одна декартова компонента напряжённости электрического или магнитного поля

и (a = x, y, Z) (9)

Уравнения (7), (8), (9) называются волновыми уравнениями. Их решения имеют характер распространяющихся волн.

Плоская волна.

Предположим, что произвольная компонента поля Ф (например, Еα или Нα) зависит лишь от одной пространственной координаты, например Z, и времени, т. е. Ф = Ф(Z,T). Тогда уравнение (9) упростится и примет вид

(10)

Уравнению (10) удовлетворяет функция вида:

(11)

Где Ф1 и Ф2 – произвольные (дифференцируемые) функции своих аргументов.

Формула (11) выражает общее решение уравнения (10). Она описывает суперпозицию двух волн. Первая из них распространяется вдоль, а вторая – против оси Z. Скорости обеих волн одинаковы и равны С. Действительно, возмущение Ф1, находившееся в момент времени T1в точке Z1, в момент T2 приходит в точку Z2, определяемую соотношением T1 – z1/c = t2 – Z2/C. Отсюда при T2 > T1 имеем z2 > z1 и скорость распространения волнового возмущения равна V = (z2 – z1)/(t2 – t1) = c.

Функции Ф1 = Ф(Z, T) и Ф2 = Ф2(Z, T) описывают плоские волны, так как волновое возмущение имеет одно и то же значение во всех точках бесконечной плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Конкретный вид функций Ф1 и Ф2 определяется начальными и граничными условиями задачи.

Плоская гармоническая волна.

Конкретизируем закон изменения светового поля во времени и в пространстве. Рассмотрим, например, декартову компоненту поля E(Z, T). Пусть при Z = 0 E(0, T) = АCos(wt), т. е. напряжённость светового поля изменяется по гармоническому закону. Тогда в соответствии с (11) в области с Z≥0 будет распространятся плоская гармоническая волна

(12)

В этом выражении Е0 – амплитуда волны, w — круговая частота, связанная с периодом Т и частотой колебаний n = 1/Т соотношениями

Параметры K и Z, определяемые как

Есть соответственно волновое число и длина волны. Величина j = wT – Kz называется полной фазой волны и зависит от T и Z. Фазу j = Kz, связанную с изменением пути, пройденного волной, называют набегом фазы или фазовым сдвигом.

Геометрическое место точек с одинаковым значением фазы называют волновым фронтом. В плоской гармонической волне волновой фронт представляет собой плоскость, перпендикулярную направлению распространения.

Пусть плоская гармоническая волна распространяется в произвольном направлении, задаваемом единичным вектором . Поверхности постоянных фаз имеют вид плоскостей, перпендикулярных вектору (рис. 1). Введём волновой вектор

.

Вектор указывает направление распространения волны, а его модуль равен волновому числу K = w/C. Обозначим расстояние, пройденное волной в направлении через x и проведём вектор из начала координат в произвольную точку волнового фронта. Тогда, как видно из рис. 1,

Используя последнее соотношение, получаем

Теперь поле волны можно представить в виде

(13)

При гармоническом изменении во времени напряжённостей электрического и магнитного полей частота остаётся постоянной. В оптике часто говорят не о гармонических, а о Монохроматической волне. Монохроматический означает “одноцветный”. Термин этот возник потому, что в видимом диапазоне глаз регистрирует изменение частоты излучения как изменение цвета.

В дальнейшем для зависимости напряжённости поля в волне от координат и времени вместо (13) удобно использовать комплексную запись, принимая во внимание формулу Эйлера

(14)

Величина Е0 в (14) может быть как действительной, так и комплексной. Учитывая, что в общем случае:

и tg j = Im(E0)/Re(E0), запишем выражение (14) в виде

,

Где |E0| - амплитуда плоской волны, j – начальная фаза колебаний в точке  = 0. Знак “Re” и знак модуля при записи будем опускать, не забывая, однако, о том, что физический смысл имеет лишь вещественная часть используемых комплексных выражений.

(15)

Комплексная запись особенно удобна потому, что при её использовании дифференцирование напряжённости поля по времени ¶/¶T сводится, как видно из (15), просто к умножению на iw. Скалярное произведение можно записать в виде (Kx·X + Ky·X + Kz·X), поэтому дифференцирование , например, по координате x сводится к умножению на Ikx.

Сферическая волна.

Нетрудно убедиться, что уравнениям (9) удовлетворяют и волны вида

В которых напряжённости полей зависят только от одной пространственной переменной – модуля радиус-вектора.

Такие волны называют сферическими.

Рассмотрим скалярное волновое уравнение

И будем искать его решение вида Ф = Ф(T,R). Для сферически симметричной функции Ф оператор Лапласа имеет вид

Поэтому волновое уравнение перепишется следующим образом

Введём вспомогательную функцию F = RФ. Тогда последнее уравнение преобразуется к виду, аналогичному (10):

И, следовательно, его общее решение представится в виде суперпозиции двух волн, бегущих во взаимно противоположных направлениях:

Возвращаясь к искомой функции Ф, получим

(16)

Выражение (16) описывает две сферические волны. Первое слагаемое представляет собой волну, движущуюся в направлении увеличения значений r, т. е. от центра, где расположен точечный источник. Такая волна называется Расходящейся. Второе слагаемое описывает волну, движущуюся в направлении уменьшения значения r, т. е. к центру. Такая волна называется Сходящейся. Значение Ф в фиксированный момент времени на сфере постоянного радиуса являтся постоянным.

Сферическая гармоническая волна.

Если на сфере радиуса r0 задать гармоническое возмущение, синфазное во всех точках сферы

,

То возбуждаемая таким источником расходящаяся волна при r > r0 может быть представлена в виде:

(17)

Здесь в отличие от плоской волны амплитуда зависит от координаты, а фазовый и амплитудный фронты представляет собой сферы.

В комплексном представлении расходящаяся сферическая волна запишется так:

(18)

Наряду с плоской, сферическая гармоническая волна является эталонной волной, имеющей большое значение для оптики. Поэтому и сделан особый акцент на описание этих волновых процессов. Хотя сами по себе эти волны являются в значительной степени математической абстракцией, их роль в описании оптических явлений трудно переоценить. Во многих случаях реальный световой пучок можно разложить в спектр по плоским гармоническим волнам. Излучение реальной среды, состоящей из возбуждённых атомов и молекул, часто можно представить как суперпозицию сферических волн.

Свойства плоской гармонической электромагнитной волны.

Для анализа структуры плоской электромагнитной волны удобно записать уравнения Максвелла в символической форме с помощью векторного дифференциального оператора “набла”.

,

Где - единичные векторы, направленные вдоль осей X, Y, Z декартовой системы координат.

Принимая во внимание, что для произвольного векторного поля

Уравнения Максвелла (1) – (4) можно записать так:

(19)

(20)

(21)

(22)

Будем искать решение этих уравнений в виде плоских гармонических волн

(23)

(24)

Где и  – постоянные векторы, не зависящие от времени, но компоненты которых могут быть комплексными. Подставляя выражения (23) и (24) в уравнение (19) – (22) и учитывая, что

Получаем следующие соотношения:

(25)

(26)

(27)

(28)

Из соотношений (27) и (28) следует, что векторы и плоской волны перпендикулярны вектору , т. е. направлению распространения. Это означает, что электромагнитная волна является Поперечной. Соотношения (25) – (26) показывают, что векторы и взаимно перпендикулярны. Таким образом для плоской гармонической световой волны, распространяющейся в вакууме в произвольном направлении , векторы , и образуют правую тройку взаимно перпендикулярных векторов (рис. 2).

Взяв от обеих частей (25) – (26) модули и учитывая взаимную ориентацию всех векторов, а также, что , a , находим следующие соотношения между напряжённостями электрического (E) и магнитного (Н) полей, а также между напряжённостью электрического поля и магнитной индукцией плоской волны в вакууме:

(28)

(29)

Из рис. 2 видно также, что в бегущей плоской волне и изменяются в одинаковой фазе, т. е. одновременно достигают максимальных и нулевых значений.

Плотность потока энергии.

Плотность потока энергии электромагнитного поля определяется вектором Пойнтинга

,

Который указывает направление и количество энергии, переносимой световой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Модуль вектора S в случае плоской волны может быть представлен в виде:

,

Где учтено соотношение (28).

Учитывая, что значение вектора E электромагнитной волны оптического диапазона изменяется с частотами порядка 1015 Гц, то следить за изменением этой величины во времени невозможно. Можно наблюдать и измерять лишь средние значения, как величины Е2, так и величины S, по очень большому числу периодов колебаний. Поэтому от мгновенных величин необходимо перейти к средним.

Учитывая, что для гармонических волн E = Е0coswT, где Е0 – амплитуда напряжённости электрического поля волны, находим среднюю по времени плотность потока энергии, которую называют обычно Интенсивностью света:

Обычно в эксперименте используют пучки света конечного сечения, по которому плотность потока распределена неравномерно. Чаще всего пучок имеет круговое сечение, распределение плотности энергии по которому аксиальное симметричное и гауссово. Такой пучок называется гауссовым, и распределение средней плотности потока энергии имеет вид

Где S0 – средняя плотность потока энергии в центре пучка (R = 0); R – расстояние от центра. На расстоянии R0 плотность потока энергии убывает в Е = 2,72 раза. По обычной договоренности об обращении с экспоненциально убывающими величинами можно сказать, что радиус пучка равен R0.

Гауссовы волны могут служить математической моделью излучения оптических квантовых генераторов (лазеров).