Политех в Сети

Сайт для Учебы

13.1. Эффект Доплера

Рейтинг пользователей: / 0
ХудшийЛучший 

При рассмотрении интерференции света указывалось, что во многих практически важных случаях (например, при свечении плазмы низкого давления) уширение спектральной линии в основном определяется изменением наблюдаемой частоты, связанным с хаотическим движением излучающих атомов. Такое уширение линии, легко наблюдаемое на опыте, является, следствием эффекта, играющего существенную роль в современной физике и по-разному проявляющегося при изменении условий эксперимента. Этот эффект был предсказан Х. Доплером (1842 г.) для сугубо частного случая распространения акустических волн, целиком объясненного с позиций классической физики. В оптическом диапазоне его впервые наблюдал Физо, заметивший смещение спектральных линий в излучении некоторых небесных светил. В лабораторных условиях первые наблюдения изменения частоты спектральных линий при отражении света от движущегося зеркала были осуществлены А. А. Белопольским. Значительно позже был обнаружен поперечный эффект Доплера и тем самым получено экспериментальное доказательство этого явления, предсказанного теорией относительности.

Мы получим здесь общее выражение для преобразования частоты и рассмотрим принципиальное различие эффекта Доплера в оптике и акустике.

Исследуем относительное движение источника электромагнитных волн и приемника, которое всегда можно разложить на продольное движение и движение, направление которого перпендикулярно линии, соединяющей исследуемые два тела. Вычисления ведут в предположении, что излучатель и приемник движутся равномерно и прямолинейно, т. е. рассматривают две связанные с ними инерциальные системы XYZ и X¢, Y¢, Z¢. Дисперсия среды не учитывается, волна распространяется в вакууме (N = 1). Эти упрощения не снижают общности вывода и соответствуют условиям, обычно реализующимся при астрономических измерениях.

Проведем расчет продольного эффекта Доплера, используя преобразования Лоренца, связывающие координаты в двух инерциальных системах, движущихся одна относительно другой равномерно и прямолинейно с относительной скоростью V, направленной вдоль оси OX (O¢X¢), а именно:

. (1)

Преобразования Лоренца получены как прямое следствие постулатов специальной теории относительности.

Согласно первому постулату утверждается, что никакими физическими опытами нельзя установить, какая из двух инерциальных систем покоится, а какая движется.

Второй постулат сводится к утверждению, что существует конечная максимальная скорость распространения любого взаимодействия, которая равна C — скорости света в вакууме. По принципу относительности эта скорость одинакова во всех инерциальных системах и не зависит от длины волны, интенсивности и относительной скорости движения источника и приемника света. В нашем случае относительная скорость движения приёмника света и излучателя и нормаль к плоской волне направлены вдоль одной прямой, которая совпадает с направлением оси Ox (рис. 1). Уравнение плоской волны в связанной с излучателем в системе XУZ имеет вид

. (2)

В системе X¢, Y¢, Z¢, связанной с приёмником света, это выражение преобразуется:

(3)

Но очевидно, что в системе x¢, y¢, z¢ уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси O¢X¢, должно иметь вид

(4)

Сравнивая последние два соотношения, получим закон преобразования частоты для случая, когда нормаль к фронту волны и относительная скорость движения направлены, вдоль одной прямой (продольный эффект Доплера)

(5)

Это выражение также можно записать в виде

(6)

Если относительная скорость n мала (n << c) в достаточно точном приближении можно пренебречь членом порядка b2. Тогда для изменения частоты получается следующая простая формула, которой обычно и пользуются при физических измерениях:

(7)

Соотношение (7) устанавливает линейную зависимость между n¢/n и b = n/c. Следовательно, продольный эффект Доплера является эффектом первого порядка. Пользуясь упрощенным соотношением (7) и вводя обозначение Dn = n¢ - n, получаем выражение, в котором в явном виде фигурирует доплеровский сдвиг частоты Dn как функция b = V/C, а именно

(8)

Учитывая, что

,

Его можно записать в виде

, (9)

Где Dl =l¢ - l.

Очевидно, что сдвигу фаз в область более длинных волн (n¢ < n, l¢ < l, так называемое красное смещение) соответствует положительная относительная скорость приемника и излучателя (n > 0), т. е. источник и приемник электромагнитных волн удаляются один от другого. При фиолетовом смещении (n¢ > n, l¢ > l) имеет место сближение источника и приемника света. Ниже эти соотношения будут проиллюстрированы примерами из астрофизики.

Рассмотрим теперь возникновение поперечного эффекта Доплера. Пусть плоская волна распространяется вдоль OZ¢, а относительная скорость двух инерциальных систем направлена вдоль OX (OX¢). Предположим, что в системе XYZ, связанней с излучателем, нормаль к исследуемой волне будет составлять некоторый угол g с направлением OZ (рис. 2). Запишем уравнение волны в системах XYZ и X¢, Y¢, Z¢.

, (10)

. (11)

Применяя к соотношению (10) преобразования Лоренца, имеем

. (12)

Сравнивая (12) и (11), получаем закон преобразования частоты в данных условиях в виде

или . (13)

Разлагая правую часть (13) в ряд и, ограничиваясь членом второго порядка по b, находим Dn/n = - b2/2, где Dl = l¢ - l. Следовательно, смещение спектральной линии равно

или , (14)

Где Dn = n¢ - n, Dl = l¢ - l.

Соотношение (14) показывает, что при фиксации прямого угла между и g в системе, связанной с приёмником света, поперечный эффект Доплера должен приводить к красному смещению (Dl > 0).

Проведенное выше рассмотрение, которое и привело нас к выражениям (13) и (14), базировалось на исходном положении, что направление распространения волны перпендикулярно скорости приемника или излучателя при измерении этого угла в системе X¢, Y¢, Z¢, связанной с приемником, что обычно удобно при сравнении теории с данными опыта. Если потребовать, чтобы угол между и был прямым в системе XYZ, связанной с излучателем, то получится другой результат.

Действительно, запишем снова уравнение волны в системе координат x, y, z при :

Если, используя преобразования Лоренца, перейти от системы XYZ к X¢, Y¢, Z¢, то получится

или . (15)

Тогда

или . (16)

Очевидно, что при задании прямого угла между и g в системе связанной с излучателем, должно наблюдаться фиолетовое смещение.

Поперечный эффект Доплера — это эффект второго порядка относительно b = V/C (Dn ~ b2), тогда как для продольного характерна линейная зависимость смещения от b. Нетрудно заметить, что поперечный эффект не меняет знака при замене +V на –V. Он много меньше продольного, но само его существование представляется очень важным, так как в данном случае имеется качественное отличие от акустики, где никакого поперечного эффекта Доплера нет.

Введем угол y, который составляет (в системе, связанной с излучателем) направление нормали к волне с линией, соединяющей излучатель и приемник света. Тогда для продольного эффекта cosy = 1 а для поперечного cosy = 0. Формулы (7) и (15) можно объединить в одно выражение, описывающее эффект Доплера в оптике, а именно

(17)

Заметим, что при вычислении поперечного эффекта мы фактически решили еще одну задачу, представляющую интерес для обсуждаемого круга вопросов. Речь идет о явлении звездной аберрации, которое давно известно в астрономии и даже может служить одним из методов измерения скорости света. При наблюдении в телескоп неподвижных звезд приходиться наклонять его ось относительно истинного направления на угол g, который зависит от модуля и направления скорости орбитального движения Земли в момент измерения и испытывает годичные изменения. Выполняя измерения в разное время года, можно найти угол g, под которым должна быть наклонена ось телескопа. Наибольшее его значение g = V/C.

Действительно, из выражения (12) следует, что или sing = b = V/C. Если V << C, то можно считать sing » g = V/C что и оправдывается при астрономических измерениях.

Вернемся к рассмотрению полученных основных результатов. Интересно провести сравнение изменения частоты при относительном движении излучателя и приемника, наблюдающегося при оптических измерениях, с аналогичным акустическим эффектом. Выше уже указывалось, что само существование поперечного эффекта позволяет различить эти два явления. Но даже в том случае, когда исследуется эффект первого порядка (т. е. пренебрегают членами, содержащими b2), можно обнаружить принципиальную разницу между акустическим и оптическим явлениями. В акустике можно опытным путем определить как скорость приемника, так и скорость излучателя относительно среды, в которой происходит их движение. В оптике же в соответствии с постулатами Эйнштейна речь может идти только об измерении относительной скорости приемника света и излучателя, и никакими дополнительными экспериментами нельзя установить их абсолютные скорости. По образному выражению А. Зоммерфельда, природа не знает абсолютного движения ни источника света, ни наблюдателя. Она поступает проще и красивее, объединяя их в выражение типа (7).

Перейдем к исследованию того, как проявляется эффект Доплера при оптических экспериментах. Укажем, что следует различать направленное и хаотическое движение излучающих частиц, в котором они могут одновременно участвовать. К сдвигу частоты V/C приводит лишь направленное движение ансамбля атомов, и прежде всего мы проанализируем те эксперименты, где проявляется именно этот вид движения.

Практически всегда учитывается лишь продельный эффект, т. е. определяется проекция относительной скорости на линию, соединяющую источник и приемник света. В частности, именно такая лучевая скорость звезд измерялась в классических опытах Физо, где сравнивалось положение спектральных линий от звезд и земных источников. По сей день измерение доплеровских сдвигов является основным методом, определения относительных лучевых скоростей Земли и небесных светил.

Продольный эффект Доплера обусловливает также расщепление на две компоненты спектральных линий, излучаемых двойными звездами, т. е. системой из двух тел, вращающихся вокруг одного центра. Расстояние между звездами может быть столь мало, что обычными методами их нельзя разрешить, даже используя самые большие телескопы.

При проведении астрономических измерений, основанных на эффекте Доплера, был обнаружен ряд явлений, истолкование которых вызвало широкую дискуссию, ещё не исчерпавшую круг рассматриваемых вопросов. Дело в том, что при наблюдении спектров удаленных скоплений звезд (галактик) всегда фиксируется красное смещение, что соответствует удалению исследуемых светил. В некоторых случаях скорость удаления галактик, определенная из доплеровского смещения, была очень велика и достигала 0,3–0,4 скорости света в вакууме (сине-зеленые линии попадали в красную область спектра).

Эти наблюдения качественно подтверждали высказанную ученым А. А. Фридманом гипотезу о расширяющейся Вселенной, которая может рассматриваться как следствие общей теории относительности, но грандиозные масштабы явления требуют его детального осмысления и обсуждения, как в физическом, так и в философском плане.