Политех в Сети

Сайт для Учебы

12.1. Нелинейные оптические явления

Рейтинг пользователей: / 2
ХудшийЛучший 

Систематические исследования характера оптических явлений в различных средах от интенсивности света, которые стали возможными после создания лазеров, привели к возникновению новой области физики — нелинейной оптики. Чтобы понять ее содержание, необходимо напомнить, что представляет собой обычная (линейная) оптика.

Оптику слабых световых потоков, изучающую оптические явления характер которых не зависит от интенсивности света, называют линейной. Причины, по которым в линейной оптике характер явлений не зависит от интенсивности излучения, можно выявить, обратившись к ее теоретическим основам. Эффекты взаимодействия света с веществом можно трактовать как на классическом, так и на квантовом языке. Квантовые представления необходимы при анализе поглощения и излучения света атомными системами. При изучении же распространения света в среде в области прозрачности, т. е. вдали от полос поглощения, вполне удовлетворительно классическое описание, которым мы и воспользуемся.

Взаимодействие света со средой. Поляризованность среды

Оптические свойства среды в линейной оптике описываются такими не зависящими от интенсивности характеристиками, как коэффициент преломления N и коэффициент поглощения g. Объяснение преломления и поглощения света и схема расчета величин N и g Хорошо известны. Обратимся сначала к классической лоренцевской модели гармонического осциллятора — одиночного атома, содержащего ядро и единственный электрон. Если к этому атому приложить электрическое поле, то расстояние между электроном и ядром изменится, у атома появится электрический дипольный момент — он поляризуется. Если электрическое поле изменяется, то и поляризация в модели Лоренца изменяется аналогичным образом; частота изменения равна частоте изменения приложенного поля. Другими словами, электрон в переменном электрическом поле колеблется около своего положения равновесия, образуя колеблющийся диполь. Этот диполь излучает электромагнитную волну, частота которой равна частоте колебаний диполя и следовательно частоте приложенного поля. Фаза волны также, как и фаза колебаний диполя, определяется возвращающей силой — силой взаимодействия электрона с ядром атома.

Предположение, что переизлученное поле зависит от времени точно также как и поле падающей на среду волны, справедливо для линейной оптики. Эти поля отличаются только фазами и амплитудами. Сдвиг фаз между падающим и переизлученным полями в каждом атоме является причиной отличия фазовой скорости света в среде от скорости света в вакууме. Этим объясняется отличие от единицы показателя преломления: . Потеря энергии при элементарном акте взаимодействия волны с атомом является причиной поглощения световой волны средой.

Дипольный момент, приобретенный атомом под действием световой волны, пропорционален напряженности поля волны при не слишком больших ее значениях:

(1)

Коэффициент a называется линейной атомной восприимчивостью или коэффициентом поляризуемости. Вынужденное движение электронов среды в поле световой волны макроскопически проявляется в возникновении поляризованности среды, которая складывается из индуцированных электрическим полем волны дипольных моментов отдельных атомов, так что дипольный момент , приобретенный 1м3 среды равен:

, (2)

Где N — число атомов в единице объема, — макроскопическая восприимчивость среды. Вводя вектор электрической индукции , который связан с напряженностью электрического поля линейным материальным уравнением , можно определить диэлектрическую проницаемость среды e, а , следовательно и показатель преломления немагнитной среды:

, (3)

Если отклик среды на световое поле определяется уравнением (1), т. е. пропорционален напряженности поля , то поляризуемость атома и все оптические характеристики среды не зависят от интенсивности световой волны. Волны разных частот и направлений распространяются в среде независимо друг от друга, т. е. имеет место принцип суперпозиции.

В интенсивных лазерных пучках, напряженность электрического поля в которых сравнима с внутриатомными полями (EА ~1011 В/м), связь индуцированного дипольного момента уже не будет линейной, что проявится в зависимости оптических характеристик среды от интенсивности световой волны. В средах, свойства которых зависят от интенсивности или от напряженности поля нарушается принцип суперпозиции. Волны разных частот или разных направлений в нелинейной среде взаимодействуют между собой. Возникают и эффекты самовоздействия.

С нелинейными явлениями взаимодействия и самовоздействия все чаще приходится сталкиваться в современной лазерной оптике, акустике, физике плазмы. Нелинейные эффекты оказываются весьма существенными и при распространении мощных радиоволн в ионосфере.

Чтобы составить представление о линейной и нелинейной поляризуемости атома, запишем уравнение которым описывается смещение из положения равновесия в поле световой волны. Для простоты речь идет об изотропной среде, где направление смещения электрона совпадает с направлением поля, ориентированного, например, вдоль оси x. В первом приближении, соответствующем линейной оптике, сила F, удерживающая электрон в положении равновесия, считается пропорциональной смещению электрона из положения равновесия, = – Kx, т. е. носит квазиупругий характер. Это соответствует квадратичной зависимости потенциальной энергии электрона от его смещения, U(X) = kx2/2. В следующих приближениях нужно учесть члены более высокой степени в разложения U(X) в ряд по степеням смещения из равновесия

.

Коэффициенты b, d, как и K, определяются строением атома и обуславливают ангармонический характер движения (электрона) осциллятора. Нечетные степени в разложении U(X) могут быть только у систем без центра симметрии. В такой усовершенствованной модели уравнение движения электрона в пренебрежении затуханием принимает вид

, (4)

Где — частота собственных колебаний при небольших амплитудах. Когда ангармонические члены bX2, dX3, … имеют характер небольших поправок, уравнение (4) можно решать методом последовательных приближений.

В нулевом приближении ангармонические члены отбрасываются и уравнение сводится к основному уравнению классической теории дисперсии линейной оптики, т. е. к уравнению движения линейного гармонического осциллятора:

В монохроматическом поле его решение имеет вид:

. (5)

Дипольный момент, приобретенный отдельным атомом под действием световой волны, пропорционален смещению электрона из положения равновесия (PEx), что в сравнении с (1) дает обычное выражение для линейной поляризуемости a0 = (E2/ME0)/(w02 – w2), не зависящее от напряженности электрического поля. Решение нулевого приближения X0(T) подставляется в ангармонические члены уравнения (4) и вместо X в следующем приближении нужно решать линейное уравнение, в котором играющая роль вынуждающей силы правая часть содержит кроме cos Wt гармонические составляющие на удвоенной и утроенной частотах:

, .

Поэтому и частное решение неоднородного уравнения, описывающее установившиеся колебания, кроме слагаемого X0(T) на основной частоте W, содержит слагаемые с частотами 2W, 3W, …

Следовательно, для ангармонических колебаний зависимость X(T) усложняется и становится нелинейной. Поэтому и поляризованность среды, которую можно представить в виде PNlx, перестает быть линейной функцией от E. В сильных световых полях материальное уравнение (2), связывающее поляризованность среды с напряженностью электрического поля, становится нелинейным.

Для однородной анизотропной среды, без учета ее магнитных свойств и пространственной дисперсии, такое материальное уравнение в общем виде можно записать так:

, (6)

Где в соответствии с общепризнанной символикой подразумевается, что по дважды повторяющимся индексам производится суммирование. I, K, L, M Пробегают значения декартовых индексов. Тензор второго ранга kIk представляет собой обычную (линейную) восприимчивость среды, а тензоры высших порядков kIkl, kIklm, … называются соответственно квадратичной, кубичной и т. д. Поле E в (6) предполагается монохроматическим, а восприимчивости зависят от его частоты. Тензорный вид материального уравнения обусловлен тем, что для анизотропных сред направление вектора в общем случае не совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля . Если среда обладает центром симметрии, то все восприимчивости четных порядков обращаются в нуль (четность определяется числом индексов без первого). Так будет, например, в изотропной среде или кубических кристаллах. В таких средах невозможны эффекты, обусловленные восприимчивостями четных порядков.

При качественном описании нелинейных явлений можно воспользоваться упрощенной моделью среды, считая поляризованность параллельной напряженности поля и полагая в материальном уравнении (6) восприимчивости всех рангов скалярами:

. (7)

Надо только иметь в виду, что в кристаллах в выбранном направлении могут распространяться волны не всех, а только избранных поляризаций. Соотношение (7) применимо к каждой из таких волн, причем для различных волн k, k2, k3, … имеют различные значения.

Итак, на примере простой классической модели показано, что нелинейные восприимчивости появляются за счет ангармонических членов в потенциальной энергии оптического электрона. Электронный механизм появления нелинейности преобладает в твердых телах. Зависимость оптических характеристик среды от интенсивности световой волны может быть обусловлена не только влиянием поля волны на поляризуемость атома, но и воздействием на концентрацию и ориентацию атомов и молекул. В жидкостях эти факторы играют главную роль. Одна из причин локальных изменений концентрации молекул в световой волне связана с электрострикцией. Электрическое поле световой волны создает в среде всестороннее давление, пропорциональное квадрату напряженности поля. В результате сжатия возникают локальные изменения плотности среды (т. е. концентрация молекул), а следовательно, и показателя преломления.

Если молекулы среды анизотропны, т. е. поляризуемость молекул по разным направлениям различна, но при отсутствии внешнего поля все ориентации молекул равновероятны (что характерно для газов и жидкостей), то среда в целом будет изотропной. В сильных световых полях анизотропные молекулы ориентируются определенным образом относительно поля, и среда в оптическом отношении превращается в одноосный кристалл (так проявляется высокочастотный эффект Керра). Возникающая при этом нелинейность носит ориентационный характер.

Показатель преломления среды, кроме того, всегда изменяется из-за нагревания среды световой волной при ее поглощении. Во всех этих случаях проявляется зависимость оптических характеристик среды от интенсивности световой волны и все возможные механизмы возникновения нелинейности учитывает феноменологическое материальное уравнение (7).

Основные нелинейные эффекты

Для описания нелинейных эффектов удобно разделять поляризованность среды на линейную и нелинейную части:

, (8)

Наличие поляризованности среды означает, вообще, возникновение в ней поляризационных зарядов и токов, обусловленных связанными в атомах электронами. Эти заряды и токи, как источники полей, необходимо учитывать в полных уравнениях Максвелла при нахождении электромагнитного поля. Когда вещество поляризовано неоднородно, т. е. вектор меняется от точки к точке, то физически бесконечно малый элемент объема приобретает не только дипольный момент, но и отличный от нуля полный заряд. Макроскопически этот поляризационный заряд характеризуется объемной плотностью r, которая выражается через скорость изменения вектора в пространстве следующим соотношением: Изменение поляризованности с течением времени означает, что создающие ее заряды движутся, т. е. возникает поляризационный ток, вектор плотности которого равен скорости изменения вектора , . Влияние зарядов и токов, обусловленных линейной частью , удобно учесть, вводя вектор электрической индукции , который, как уже отмечалось, связан с напряженностью электрического поля уравнением , . Диэлектрическая проницаемость здесь выражается только через линейную восприимчивость, т. е. имеет тот же смысл, что и в линейной оптике. Если бы имелась только линейная часть , то для векторов и в среде получалась бы система однородных уравнений, аналогичная уравнениям поля в вакууме.

Учет приводит к системе нелинейных уравнений для векторов световой волны, что означает нарушение принципа суперпозиции. Уравнения Максвелла примут вид:

, (9)

, (10)

, (11)

, (12)

Эту систему, как и уравнение для ангармонического осциллятора, можно решать методом последовательных приближений. В нулевом приближении правые части отбрасываются и уравнения (9)-(12) превращаются в обычные однородные уравнения линейной оптики. Возможное их решение — плоская монохроматическая волна . Для нахождения следующего приближения в правые части уравнений подставим нелинейную поляризованность , где заменено выражением из нулевого приближения, и отброшены кубичные и высшие члены. Получим опять линейные, но уже неоднородные уравнения с известными правыми частями. Эти правые части могут быть истолкованы как добавочные источники волн, обусловленные нелинейной частью поляризованности среды. Каждый элемент объема DV среды переизлучает волны как осциллирующий диполь Герца с добавочным дипольным моментом . Эти излучения, накладываясь на плоскую волну нулевого приближения, создают волновое поле в первом приближении. Второе приближение находится аналогично. Для этого выражение для нелинейной поляризованности обрываем на членах третьей степени , заменяя в оборванном выражении на , после чего вычисляем поле во втором приближении и т. д. Если в нулевом приближении есть только одна монохроматическая волна частоты W, то с учетом нелинейных членов поляризованности среды в правой части уравнения (9), (10), появятся слагаемые не только с исходной частотой W, но и с частотами 2W, 3W, … Уравнения Максвелла следует написать для каждой частоты в отдельности и искать решение этих уравнений в виде распространяющихся волн с такими же частотами, при этом случае диспергирующей среды следует брать значения диэлектрической проницаемости при той же частоте. А так как в реальных световых пучках интенсивность света и показатель преломления возрастают к оси пучка, то из-за искривления лучей пучок начнет сжиматься и может стянуться в тонкий шнур. Это и есть самофокусировка. В промежуточном случае когда , пучок будет проходить через нелинейную среду практически без изменения поперечных размеров. Он создаст для себя как бы волновод, в котором и распространяется без рассеяния в стороны. Такой режим распространения называется самоканализацией светового пучка. Так как условие самоканализации имеет вид , то подставив сюда значения углов и и выражение амплитуды через мощность пучка , получим так называемую пороговую мощность пучка . Заметим, что для наблюдения любого нелинейного эффекта необходимы световые пучки с определенными пороговыми мощностями.

Помимо рассмотренной, как уже отмечалось, есть и другие причины изменения показателя преломления. Это и электрострикция, и высокочастотный эффект Керра, и нагревание среды, происходящее при поглощении световой волны. Во всех этих случаях изменение показателя преломления пропорционально квадрату амплитуды волны и может быть определено формулой

; (10)

Параметрическая генерация света.

Нелинейные оптические явления в кристаллах позволяют преобразовывать излучение лазера не только в излучения гармоник, суммарных и разностных частот, но и в излучения с плавно перестраиваемой частотой. Принцип такого преобразования был указан в 1962г. С. А. Ахмановым и Р. В. Хохловым. Он заключается в следующем. Пусть на среду, нелинейная поляризованность которой с точностью до квадратичных членов определяется выражением падает мощная "волна накачки" и две слабые волны и , частоты которых связаны соотношением

. (11)

Считая для простоты, что направления амплитуд всех волн совпадают, перейдем к скалярной форме записи. Возводя в квадрат, рассмотрим член 2k1e0E1EН, представляющий собой произведение двух косинусов и возьмем слагаемое с разностной частотой (wн – w1), которая, ввиду (11), равна w2. Также поступим и с произведением 2k1e0E2EН. В результате из нелинейной поляризованности выделятся два члена с частотами w1 и w2:

(12)

(13)

Следовательно, возникнет переизлученное поле с теми же частотами w1 и w2. Это может привести к усилению волн таких частот за счет энергии волны накачки. Такое явление называется параметрическим усилением света, так как его можно рассматривать как результат модуляции параметров среды (показателя преломления) при ее взаимодействии с волной накачки. Взаимодействие с волной накачки будет особенно сильным, когда фазы волн (12) и (13) длительно совпадают с фазами обоих волн E1 и E2, т. е. когда соблюдается условие . Оно называется условием фазового синхронизма между волной накачки и обеими волнами с частотами w1 и w2. Для эффективного усиления этих волн многократно пропустить через нелинейную среду, для чего она, как и в лазерах, помещается в оптический резонатор между зеркалами. Оба зеркала должны иметь высокий коэффициент отражения для волн обеих частот и в то же время одно из зеркал, через которое проходит волна накачки, должно быть достаточно прозрачным для нее. При выполнении этих условий и большой мощности волны накачки возникает генерация на частотах w1 и w2, удовлетворяющих соотношению (11). Специально можно не посылать в резонатор волны с частотами w1 и w2. Они сами возникают всегда либо из-за имеющихся шумов, либо из-за тепловых флуктуаций. Происходит самовозбуждение генератора с последующим усилением генерируемых волн при нелинейном взаимодействии их с волной накачки.

В изотропных средах в области нормальной дисперсии нельзя одновременно удовлетворить условию (11) и условию фазового синхронизма. Это можно выполнить в некоторых кристаллах для необыкновенной и обыкновенной волн. Поворачивая кристалл (или изменяя его температуру или прикладывая постоянное электрическое поле), можно изменять частоты, для которых направление, перпендикулярное зеркалам является направлением синхронизма. Именно так действуют параметрические генераторы когерентного света с плавно перестраиваемой частотой. Таким способом можно пройти весь диапазон видимого света от красного до фиолетового, а также далеко проникнуть в инфракрасную область спектра.

Если (11) умножить на постоянную Планка , то получится

. Это соотношение в квантовой физике интерпретируется как процесс распада фотона на два фотона и , причем последнее равенство рассматривается как закон сохранения энергии для этого элементарного акта. Аналогично, генерация второй гармоники с квантовой точки зрения есть процесс взаимодействия двух фотонов с энергией каждый, в результате которого рождается фотон с удвоенной частотой w2 = 2w0. Точно также можно интерпретировать генерацию высших гармоник, а также генерацию волн с суммарной и разностной частотами.

Целый ряд нелинейных эффектов (например, просветление среды, многофотонное поглощение, многофотонный фотоэффект, различные процессы вынужденного рассеяния света) могут быть объяснены только на основе квантовой теории и здесь рассматриваться не будут.

Тепловое самовоздействие

Среди рассмотренных нелинейных оптических эффектов особое место занимает тепловое самовоздействие. Оно является наиболее низкопороговым и, вследствие этого, легко наблюдается при распространении в среде даже слабого лазерного излучения с мощностью не превышающей 10 – 3 Вт.

Основные физические процессы, лежащие в основе данного эффекта, следующие:

1. Распространение монохроматического излучения в поглощающей среде сопровождается достаточно сильной диссипацией электромагнитной энергии (переходом ее в тепловую энергию движения частиц среды).

2. Диссипация энергии электромагнитного поля сопровождается сильным нагреванием среды, приводящим к повышению температуры в областях сильного поглощения.

3. Локальное повышение температуры приводит к изменению плотности среды. Изменение плотности среды с температурой при постоянном давлении можно представить так:

, (14)

Где r0 = r(T)0, — коэффициент теплового расширения, зависящий в общем случае от температуры. Если a = coNST, то при небольших изменениях температуры выражение (14) можно упростить:

, (15)

4. Локальное изменение плотности среды приводит к локальному изменению показателя преломления. Показатель преломления вещества определяется уравнением Клаузиуса-Мосотти:

, (16)

Где — массовый показатель преломления (R — поляризуемость одного моля, MM — молярная масса), не зависящий от температуры, r — плотность вещества. Тогда . Подставив в полученное выражение значение плотности из (15), после преобразования получаем: NN(T0) = C1dT. Если учесть, что изменение температуры dT пропорционально поглощаемой, а следовательно, и падающей мощности или интенсивности, то закон изменения показателя преломления принимает следующий вид: N = N0 – N2???, где c1, c2, N2 — постоянные величины, зависящие от свойств среды. Таким образом тепловое самовоздействие излучения приводит к известному уже (23) нелинейному закону изменения показателя преломления с отрицательной нелинейной поправкой.

Локальное изменение показателя преломления, возникающей на пути распространения светового излучения, приводит к отклонению направления его распространения от прямолинейного. Обычно в эксперименте используют пучки света конечного поперечного сечения, по которому плотность потока энергии распределена неравномерно, следовательно, и показатель преломления изменяется по сечению пучка. Для определенности положим сечение пучка круглым с эффективным радиусом A0, а распределение средней плотности потока энергии (интенсивности) — подчиняющимся закону Гаусса:

, (17)

Где I0 — интенсивность в центре пучка (R = 0)/Как известно в зависимости от характера нелинейности, знак нелинейной поправки к показателю преломления может быть как положительным, так и отрицательным.

Если нелинейная поправка положительна, то скорость распространения отдельных участков волны (VC/N) ,в результате первоначально плоский фронт выгибается в сторону распространения пучка и фокусируется на оси (рис. 1а) — возникает явление самофокусировки, о котором уже шла речь

Если нелинейная поправка отрицательна, происходит расширение пучка, его дефокусировка, поскольку скорость распространения центральных участков пучка больше скорости периферийных (рис. 1б). В этом случае выражение (10) с учетом (17) принимает вид:

, (18)

Из анализа данного выражения следует, что на оси пучка (= 0) показатель преломления минимален и равен N(0) = N0 – N2I0, причем следует напомнить, что N2I0 > > N0, Графическое изображение показателя преломления (18) в сечении пучка лазерного излучения с гауссовым распределением интенсивности (17) имеет вид, представленный на рис. 2.

Сделаем оценку угла нелинейной расходимости qL при прохождении им слоя вещества толщиной L (рис. 3). Рассмотрим луч света, падающий под небольшим углом a0 на слой вещества толщиной L. Вследствие неоднородности показателя преломления вдоль радиуса падающего пучка, выходящий луч окажется отклоненным на угол qL. Распределение показателя преломления как следует из (18), аксиально симметрично относительно оси Z.

Закон преломления рассматриваемого луча на первой и второй границах слоя запишется в виде:

, . (19)

Закон преломления в произвольной точке траектории луча (например, в точке P) можно представить так:

, (20)

Тогда для интересующих нас углов q закон (20) принимает вид:

, (20)

, (21)

Применим полученное выражение к первой граничной и к какой-либо параллельной ей произвольной поверхностям:

, (22)

Отсюда выразим:

, (23)

Вследствие относительно малого изменения показателя преломления вдоль толщины слоя, можно представить как

, откуда: .

Тогда:

.

Полученное выражение подставим в (23):

.

Угол падения луча на первую грань a0 можно положить равным нулю (a0 = 0), тогда

.

С другой стороны

.

Возводя это выражение в квадрат, определим

.

При этом искомое значение угла отклонения луча принимает вид:

. (24)

Подставим в (24) значение показателя преломления из (20), предварительно разложив его в ряд и ограничившись двумя первыми членами

,

(25)

Из анализа выражения (25) видно, что угол отклонения луча зависит от координат его точки падения (R0) на поверхность слоя. Луч, падающий вдоль оси Z, не испытывает углового смещения, тогда как луч с координатой R0 = A0 испытывает максимальное угловое смещение

(26)

Качественный анализ полученного выражения позволяет нам сделать вывод о том, что увеличить угол расходимости пучка можно двумя способами: 1) увеличением интенсивности падающего пучка I0; 2) уменьшением A0, т. е. первоначальной фокусировкой падающего пучка.