Политех в Сети

Сайт для Учебы

11.2. Спонтанные и вынужденные переходы

Рейтинг пользователей: / 2
ХудшийЛучший 

Элементарная квантовая теория

Получить формулу Планка в рамках классических представлений невозможно. Однако ее удается обосновать с помощью элементарных рассуждений, основывающихся на квантовых представлениях об излучении и поглощении света. Хотя эти рассуждения не дают полного количественного решения задачи об излучении абсолютно черного тела, они дают достаточно ясное представление о механизме динамического равновесия между излучением и материальными телами.

В термодинамическом равновесии находятся оболочка полости тела и излучение в полости. Излучение представляется совокупностью квантов с энергией e = HW. Кванты могут поглощаться атомами, которые при этом переходят на более высокий энергетический уровень с энергией Е1 = Е0 + HW, где Е0 – исходный энергетический уровень атома. При переходе атома с уровня Е1 на Е0 излучается квант с энергией Е1 – Е0 = HW. Обозначим эти уровни индексами 0 и 1 (рис. 1) и назовем соответственно нижним и верхним уровнем.

Динамическое равновесие осуществляется посредством постоянного обмена квантами между полем излучения и материальными телами, в результате которого происходят переходы атомов между уровнями энергии и изменяется число квантов в поле излучения. Согласно принципу детального равновесия, обмен квантами должен уравновешиваться для каждой частоты в отдельности (точнее, для каждой моды излучения). Поэтому

Рассмотрим лишь одну частоту. Для других частот все рассуждения аналогичны, меняются лишь уровни атомов, переходы между которыми осуществляют динамическое равновесие

Спонтанные и вынужденные переходы

С нижнего уровня на верхний по закону сохранения энергии переходы возможны только с поглощением кванта энергии, т. е. под влиянием излучения, падающего на атом. Такие переходы называются вынужденными. Переходы с верхнего уровня на нижний могут быть, как вынужденными, под влиянием падающего на атом излучения, так и спонтанными, или самопроизвольными, происходящими независимо от падающего на атом излучения.

Обозначим частоту переходов атомов с верхнего уровня на нижний спонтанно, - вынужденно и — с нижнего уровня на верхний вынужденно. Условие динамического равновесия записывается в виде

(1)

Коэффициенты Эйнштейна.

В 1917 г. А. Эйнштейн (1879—1955) предложил элементарную квантовую картину динамического равновесия между излучением и материальной средой, приводящую к правильной формуле излучения абсолютно черного тела.

Обозначим А10 вероятность спонтанного перехода 1 ® 0 в секунду, - концентрацию атомов на верхнем уровне. По определению этих величин можно записать

(2)

Частота вынужденных переходов, очевидно, пропорциональна плотности излучения. Обозначим В10 и В01 вероятности вынужденных переходов 1 ® 0 и 0 ® 1 в секунду, отнесенные к спектральной плотности излучения WW; N0 — концентрацию атомов на нижнем уровне. По определению этих величин можно записать

(3)

С учетом (2) и (3) соотношение (1) принимает вид

(4)

В равновесном состоянии справедливо распределение Больцмана, которое для концентраций атомов принимает вид

(5)

Где A — нормировочная постоянная. Подставляя (5) в (4) и сокращая полученное выражение на общий множитель A, находим

(6)

Величины A10, В10, B01 называют коэффициентами Эйнштейна. Из физических соображений ясно, что при T ® ¥ должно быть WW ® ¥. Тогда, разделив обе части (6) на WW, получим

Поэтому соотношение (6) может быть записано в виде

(7)

Где HW = Е1 - Е0. Теоретически значение отношения А10/В10 в рамках элементарной квантовой теории найдено быть не может. Оно вычисляется в рамках строгой квантовой теории излучения. Однако значение этого отношения можно найти, если учесть, что (7) при малых частотах должно совпадать с формулой Рэлея—Джинса, а при больших частотах — с формулой Вина. При HW << KT можем считать, что , и записать (7) в виде

(8)

Сравнивая (8) с формулой Рэлея-Джинса, находим

Формула (7) принимает вид

(9)

Совпадающий с формулой Планка. Хотя элементарная квантовая теория излучения абсолютно черного тела не позволяет теоретически вычислить значения коэффициентов Эйнштейна, она демонстрирует необходимость существования спонтанных и вынужденных переходов, причем для вероятностей вынужденных переходов соблюдается важное соотношение ().

Испущенные в результате спонтанных переходов кванты имеют случайное направление распространения, случайную поляризацию и случайную фазу. Кванты, испущенные в результате вынужденных переходов, коррелируют по своим свойствам с излучением, которое вызывает переход. Вынужденное излучение обладает той же поляризацией, тем же направлением распространения и той же фазой, что и вынуждающее переход излучение. Это свойство вынужденного (или индуцированного) излучения чрезвычайно важно для его применений и проявлений.