Политех в Сети

Сайт для Учебы

Динамика вращательного движения

Рейтинг пользователей: / 20
ХудшийЛучший 

Момент M Силы F относительно какой-нибудь оси вращения определяется формулой

M=Fl,

Где L – кратчайшее расстояние от прямой, вдоль которой действует сила, до оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно какой-нибудь оси вращения называется величина

J=Mr2,

Где M – масса материальной точки и R – ее расстояние до оси вращения.

Моментом инерции твердого тела относительно его оси вращения

,

Где интегрирование должно быть распределено навесь объем тела. Производя интегрирование можно получить момент инерции тела любой формы.

Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

,

Где R – радиус цилиндра и M – его масса.

Момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом R1 и внешним R2 относительно оси цилиндра

,

Для тонкостенного полого цилиндра R1≈ R2=R и JMR2.

Момент инерции однородного шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр,

.

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к нему,

.

Если для какого-либо тела известен его момент инерции J0 относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельно первой, может быть найден по формуле Штейнера

J=J0+Md2,

Где M – масса тела и D – расстояние от центра масс тела до оси вращения.

Основной закон динамики вращательного движения (закон сохранения момента импульса) выражается уравнением

M·Dt=DL=D(Jω),

Где M – момент сил, приложенных к телу, L – момент импульса тела (J – момент инерции тела, ω – его угловая скорость). Если J=const, то

,

Где ε – угловое ускорение, приобретаемое телом под действием момента сил M.

Кинетическая энергия вращающегося тела

,

Где J –момент инерции тела и ω – его угловая скорость.

3. 1. Вывести формулу для момента инерции тонкого кольца радиусом R и массой M относительно оси симметрии. Ответ: MR2.

3. 2. Определить момент инерции сплошного однородного диска радиусом R = 40 см и массой M = 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Ответ: 0,12 кг·м2.

3. 3. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной = 50 см и массой M = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины. Ответ: 1) 3·10-2 кг·м2; 2) 1,75·10-2 кг·м2.

3. 4. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра. Ответ: В 1,07 раза.

3. 5. Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определить кинетическую энергию Т1 поступательного и Т2 вращательного движения диска. Ответ: Т1 = 16 Дж, Т2 = 8 Дж.

3. 6. Полый тонкостенный цилиндр массой M = 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену υ1=1,4 м/с, после удара υ'1=1 м/с. Определить выделявшееся при ударе количество теплоты Q. Ответ: Q=M(υ12- υ'12) = 0,48 Дж.

3. 7. Однородный стержень длиной = 1 м и массой = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением ε вращается стержень, если на него действует момент сил М = 98,1 мН·м? Ответ: 2,35 рад/с2.

3. 8. К ободу однородного сплошного диска массой M = 10 кг, насажанного на ось, приложена постоянная касательная сила = 30 H. Определить кинетическую энергию диска через время = 4 с после начала действия силы. Ответ: 1,44 кДж.

3. 9. Маховое колесо, момент инерции которого = 245 кг·м2, вращается с частотой N=20 об/с. Через время = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения МТр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском. Ответ: 513 Н·м; 600.

3. 10. Шар радиусом R = 10 см и массой M = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ = А + ВT2 + СT3 (В = 2 рад/с2, С = –0,5 рад/с3). Определить момент сил М для T = 3 с. Ответ:  –0,1 Н·м.

3. 11. Вентилятор вращается с частотой N = 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна 31,4 Дж. Определить: момент М сил торможения; 2) момент инерции J вентилятора. Ответ: 1) 0,1 Н·м; 2) 15,9 мН·м.

3. 12. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J=150 кг·м2, вращается с частотой N = 240 об/мин. Через время T=1 мин, как на маховик стал действовать момент сил торможения, он остановился. Определить: 1) момент М сил торможения; 2) число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки. Ответ: 1) 62,8 Н·м; 2) 120.

3. 13. Сплошной однородный диск скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Определить линейное ускорение А центра диска. Ответ: = 2/3GSinα.

3. 14. К ободу однородного сплошного диска радиусом = 0,5 м приложена постоянная касательная сила = 400 H. При вращении диска на него действует момент сил трения Мтр = 2 Н·м. Определить массу M диска, если известно, что его угловое ускорение ε постоянно и равно 16 рад/с2. Ответ: 24 кг.

3. 15. Частота вращения NO маховика, момент инерции J которого равен 120 кг·м2, составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время T = π мин. Считая трение в подшипниках постоянным, определить момент М сил трения. Ответ: 16 Н·м.

3. 16. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J=1,5 кг·м2, вращаясь при торможении равнозамедленно, за время T= 1 мин уменьшил частоту своего вращения с N0 = 240 об/мин до N1 = 120 об/мин. Определить: 1) угловое ускорение ε маховика; 2) момент М силы торможения; 3) работу торможения А. Ответ: 1) 0,21 рад/с2, 2) 0,047 Н·м; 3) 355 Дж.

3. 17. Колесо радиусом R = 30 см и массой M = 3 кг скатывается по наклонной плоскости длиной 1 = 5 м и углом наклона α = 25°. Определить момент инерции колеса, если его скорость υ в конце движения составляла 4,6 м/с. Ответ: 0,259 кг·м2.

3. 18. С наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° к горизонту, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см. Ответ: 0,585 с.

3. 19. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом = 50 cм намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой M = 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением А = 2 м/с2. Определить: 1) момент инерции J вала; 2) массу М вала. Ответ: 1) 6,25 кг·м2; 2) 50 кг.

3. 20. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом = 20 см, момент инерции которого J = 0,15 кг·м2, намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой = 0,5кг. До начала вращения барабана высота H груза над полом составляла 2,3 м. Определить: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол. Ответ: 1) 2 с; 2) 4,31 Н; 3) 1,32 Дж.

3. 21. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой M = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами M1= 0,35 кг и M2 = 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение грузов; 2) отношение T2/T1 сил натяжения нити. Ответ: 1) 1,96 м/с2; 2) 1,05.

3. 22. Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой = 5 об/с, WК = 60 Дж. Найти момент импульса L вала. Ответ: 3,8 кг·м2/с.

3. 23. Карандаш длиной L=15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую скорость ω и линейную скорость υ будут иметь в конце падения середина и верхний конец карандаша? Ответ: ωс= ωк=14 рад/с; υс=1,05 м/с, υк=2,1 м/с.

3. 24. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением ε = 0,4 рад/с2. Определить кинетическую энергию маховика через время T2 = 25 с после начала движения, если через T1 = 10 с после начала движения момент импульса L1 маховика составлял 60кг·м2/с. Ответ: 1) ЕК = 75 Дж.

3. 25. Горизонтальная платформа массой M = 25 кг и радиусом R = 0,8 м вращается с частотой N1 = 18 мин-1. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J1 = 3,5 кг·м2 до J2 = 1 кг·м2. Ответ: 23 мин-1.

3. 26. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной L = 2,5 м и массой M = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции = 10 кг·м2 и вращается с частотой N1 = 12 мин-1. Определить частоту N2 вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение. Ответ: 8,5 мин-1.

3. 27. Человек массой T = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой N1=10 мин-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить, с какой частотой будет тогда вращаться платформа. Ответ: 20 мин-1.

3. 28. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определять, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы. Ответ: Возрастет в 1,43 раза.

3. 29. Человек массой M = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом R = 1 м массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой N1 = 10 мин-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру. Ответ: 65,8 Дж.

3. 30. Однородный стержень длиной = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний Т стержня. Ответ: 1,16 с.

3. 31. Обруч диаметром = 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период колебаний Т обруча. Ответ: 1,5 с.