Политех в Сети

Сайт для Учебы

Электропроводность металлов

Рейтинг пользователей: / 2
ХудшийЛучший 

Соответствующий квантовомеханический расчет дает, что в случае идеальной кристаллической решетки электроны проводимости не испытывали бы при своем движении никакого сопротивления и электропроводность металлов была бы бесконечно большой. Однако кристаллическая решетка никогда не бывает совершенной. Нарушения строгой периодичности решетки бывают обусловлены наличием примесей или вакансий (т. е. отсутствие атомов в узле), а также тепловыми колебаниями в решетке. Рассеяние электронов на атомах примеси и на фотонах приводит к возникновению электросопроти-вления металлов. Чем чище металл и ниже температура, тем меньше это сопротивление.

Удельное электрическое сопротивление металлов можно представить в виде

,

Где RКол - сопротивление, обусловленное тепловыми колебаниями решетки, Rприм - сопротивление, обусловленное рассеянием электронов на примесных атомах. Слагаемое RКол уменьшается с понижением температуры и обращается в нуль при T = 0K. Слагаемое Rприм при небольшой концентрации примесей не зависит от температуры и образует так называемое Остаточное сопротивление металла (т. е. сопротивление, которым металл обладает при 0K).

Пусть в единице объема металла имеется N свободных электронов. Назовем среднюю скорость этих электронов Дрейфовой скоростью . По определению

В отсутствие внешнего поля дрейфовая скорость равна нулю, и электрический ток в металле отсутствует. При наложении на металл внешнего электрического поля дрейфовая скорость становится отличной от нуля - в металле возникает электрический ток. Согласно закону Ома Дрейфовая скорость является конечной и пропорциональной силе .

Из механики известно, что скорость установившегося движения оказывается пропорциональной приложенной к телу внешней силе F в том случае, когда, кроме силы -F, на тело действует сила сопротивления среды, которая пропорциональна скорости тела (примером может служить падение маленького шарика в вязкой среде). Отсюда заключаем, что кроме силы , на электроны проводимости в металле действует сила "трения", среднее значение которой равно

(R - коэффициент пропорциональности).

Уравнение движения для "среднего" электрона имеет вид

,

Где M* - эффективная масса электрона. Это уравнение позволяет найти установившееся значение .

Если после установления стационарного состояния выключить внешнее поле , дрейфовая скорость начнет убывать и по достижении состояния равновесия между электронами и решеткой обращается в нуль. Найдем закон убывания дрейфовой скорости после выключения внешнего поля. Положив в , получим уравнение

Уравнение такого вида нам хорошо знакомо. Его решение имеет вид

,

Где -значение дрейфовой скорости в момент выключения поля.

Из следует, что за время

Значение дрейфовой скорости уменьшается в E раз. Таким образом, величина представляет собой время релаксации, характеризующее процесс установления равновесия между электронами и решеткой, нарушенного действием внешнего поля .

С учетом формула может быть написана следующим образом:

.

Установившееся значение дрейфовой скорости можно найти, приравняв нулю сумму силы и силы трения :

.

Отсюда

.

Установившееся значение плотности тока получим, умножив это значение на заряд электрона - E и плотность электронов N:

.

Коэффициент пропорциональности между Представляет собой удельную электропроводность S . Таким образом,

.

Классическое выражение для электропроводности металлов имеет вид

,

Где T¢ - среднее время свободного пробега электронов, M - обычная (не эффективная) масса электрона.

Из сравнения формул и вытекает, что время релаксации совпадает по порядку величины с временем свободного пробега электронов в металле.

Исходя из физических соображений, удается произвести оценку величин, входящих в выражение, и тем самым вычислить по порядку величины проводимость S. Полученные таким способом значения находятся в хорошем согласии с опытными данными. Также в согласии с опытом получается, что S изменяется с температурой по закону 1/T. Напомним, что классическая теория дает, что S Обратно пропорциональна .

Отметим, что выкладки, приведшие к формуле, одинаково пригодны как при классической трактовке движения электронов проводимости в металле, так и при квантовомеханической трактовке. Различие этих двух трактовок заключается в следующем. При классическом рассмотрении предполагается, что все электроны возмущаются внешним электрическим полем, в соответствии с чем каждое слагаемое в формуле получает добавку в направлении,

Противоположном . При квантовомеханической трактовке приходится принимать во внимание, что возмущаются полем и изменяют свою скорость лишь электроны, занимающие состояния вблизи уровня Ферми. Электроны, находящиеся на более глубоких уровнях, полем не возмущаются, и их вклад в сумму не изменяется. Кроме того, при классической трактовке в знаменателе формулы должна стоять обычная масса электрона M, при квантовомеханической трактовке вместо обычной массы должна быть взята эффективная масса электрона M*. Это обстоятельство является проявлением общего правила, согласно которому соотношения, полученные в приближении свободных электронов, оказываются справедливыми и для электронов, движущихся в периодическом поле решетки, если в них заменить истинную массу электрона M эффективной массой M*.