Политех в Сети

Сайт для Учебы

Спонтанные и вынужденные переходы

Рейтинг пользователей: / 1
ХудшийЛучший 

Коэффициенты Эйнштейна.

1. Многочисленные эксперименты показывают, что атом не может бесконечно долго находиться в возбужденном состоянии. По истече­нии некоторого времени возбужденный атом освобождается от излишка своей энергии с помощью испускания фотона, переходя в состояние с меньшей энергией. Существуют еще так называемые Безызлучательные переходы. Такие переходы не сопровождаются появлением фотонов, характерных для данного атома. Примеры безызлучательных переходов будут рассмотрены в дальнейшем.

Излучение отдельным возбужденным атомом происходит независимо от других атомов в разные моменты времени. Поэтому можно говорить о Среднем времени жизни атома в возбужденном состоянии. Переходы возбужденных атомов с излучением происходят "сами собой". Из–за этого они называются Спонтанными, или Самопроизвольными переходами. Излучение атомов при спонтанных переходах является некогерентным.

Возникает вопрос: можно ли считать возбужденное состояние стационарным, т. е. существующим бесконечно долго, если атом нахо­дится в этом состоянии в течение конечного промежутка времени. Чтобы ответить, надо сравнить соответствующие времена. Как показы­вает опыт, характерное время жизни атома в возбужденном состоя­нии имеет порядок 10-7 – 10-9 с. Это очень малое время. Однако в атомных масштабах оно является довольно большим. Оно оказывается на много порядков больше периода колебаний излучения атома. Напри­мер, в оптическом диапазоне частота излучения имеет порядок 1014 Гц, т. е. период – порядка 10-14 с. Поэтому рассмотрение возбужденного состояния как стационарного вполне оправдано.

Существуют также Вынужденные переходы, которые происхо-дят под действием внешнего поля. В этом случае атомы Поглощают энергию поля, переходя в возбужденное состояние, или Вынужденно излучают, переходя в состояние с меньшей энергией. Если точно известно, что в начальный момент времени атом находится в некотором состоянии с энергией En, то вероятность этого события равна 1, т. е. величина . Под влиянием внешнего поля атом совершит переход в другое состояние с энергией Em. Вероятность того, что в момент времени t атом будет находиться в этом состоянии, определяется величиной , которая таким образом характеризует вероятность перехода из состояния n в состояние m. С такими вероятностями связаны коэффициенты Эйнштейна, играющие важную роль в теории излучения. Последовательное вычисление вероятностей перехода (и коэффициентов Эйнштейна) проводится с помощью решения уравнения Шредингера по методу теории возмущений. Мы ограничимся нестрогим подходом, который, в принципе, приводит к тем же результатам.

2. Рассмотрим два каких-нибудь состояния атома с энергиями Em и En, причем Em > En (рис. 7) Вводится Вероятность спонтанного перехода в единицу времени Amn из состояния m в состояние n. Величина Amn имеет смысл среднего числа актов излучения в единицу времени, приходящихся на один атом.

Р и с. 7

Допустим, что в момент времени t в состоянии Em находится Nm(t) атомов, образующих разреженный газ. За время dt произойдет dzmn=AmnNmdt переходов в состояние En. Величина dzmn определяет уменьшение числа атомов, находившихся в момент времени t в состоянии Em, т. е. –dNm = AmnNmdt. Решая уравнение, получаем, что число атомов в возбужденном состоянии Em вследствие спонтанных переходов уменьшается по закону

Величину dNm /Nm(0) можно рассматривать как меру вероятности

Спонтанного перехода атомов за время dt. Тогда среднее время такого перехода, понимаемое как среднее время жизни атома в воз­бужденном состоянии m, можно определить формулой

Таким образом, вероятность спонтанного перехода в единицу времени есть обратное среднее время жизни атома в возбужденном состоянии: Amn = 1/τm. Интенсивность излучения уменьша­ется со временем по закону

3. Если атом, находящийся в состоянии En, помещен во внеш­нее электромагнитное поле с частотой ω, то он поглощает энергию поля при совпадении этой частоты с частотой и переходит в возбужденное состояние Em. Пусть ρω – спектраль­ная плотность энергии электромагнитного излучения. Вводят величину

Этой величине придают смысл Вероятности поглощения излучения ато­мом в единицу времени.

Наряду с процессом поглощения, в результате которого происхо­дит переход n → m, может существовать обратный процесс – Вы­нужденное, Стимулированное, или Индуцированное испускание при пере­ходе m → n под воздействием внешнего электромагнитного поля, частота которого равна частоте перехода. Такой процесс характеризу­ется величиной

Эта величина имеет смысл Вероятности индуцированного излучения в единицу времени.

Коэффициенты Amn, Bmn, Bnm были введены Эйнштейном в 1916 г. и называются Коэффициентами Эйнштейна. С их помощью Эйнштейн дал изящный вывод формулы Планка для плотности энергии равновесного излучения. Между коэффициентами Эйнштейна существуют соотношения:

Коэффициент gn (или gm ) называется Статистическим весом, или Кратностью вырождения n - го (или m- го ) состояния.

4. Как мы уже говорили, вычисление вероятностей перехода (коэффициентов Эйнштейна) проводится последовательно по правилам квантовой механики. Однако окончательные результаты можно получить с помощью простых полуклассических рассуждений.

Электроны и положительное ядро, входящие в состав атома, представляют собой электрически нейтральную систему зарядов. Из классической электродинамики известно, что поле ограниченной электри­чески нейтральной системы движущихся зарядов можно представить в виде суммы полей мультиполей: это – поле электрического диполя, затем поле электрического квадруполя и магнитного диполя и т. д. Разложение поля излучающей системы зарядов по мультиполям возможно, если линейный размер этой системы r0 мал по сравнению с длиной волны излучения λ:

Поля электрического квадруполя и магнитного диполя оказываются в r0/λ раз меньше поля электрического диполя. В случае излучаю­щего атома величина r0 определяется размерами атома: r0 ≈ 10-8 см. В оптическом диапазоне длина волны λ ≈ 10-4 – 10-5 см. Таким образом, для оптического диапазона параметр Следовательно, основным типом излучения возбужденного атома должно быть электрическое дипольное излучение.

Мощность излучения электрического диполя (энергия, излучаемая диполем в единицу времени), колеблющегося с частотой ω, описывается формулой

Где - электрический дипольный момент. При спонтанном переходе за среднее время жизни атома τ высвечивается фотон с энергией ћω . Следовательно, мощность излучения равна:

Сравнивая и, получаем

К такому же результату можно придти с помощью строгого квантово–механического расчета. При этом под τ надо понимать τm, а под Матричный элемент дипольного момента:

, где – единичные векторы декартовой системы координат.

Таким образом, при квантовом расчете вероятность спонтанного излу­чения в единицу времени определяется формулой:

Здесь

Матричный элемент xmn представляет собой своеобразное среднее значение величины x при переходе из состояния m в состояние n:

Где – собственные волновые функции атома в стационарных состояниях n, m. Если n = m, то xnm есть просто среднее значение величины x (аналогично для переменных y, z) в соб­ственном состоянии .

Отметим, что вероятность спонтанного излучения в единицу вре­мени пропорциональна кубу частоты перехода и квадрату сред­него дипольного момента.

Оценим среднюю величину дипольного момента в случае оптичес­кого излучения, считая, что τ ≈ 10-8 c, а частота ω ≈ 1014 Гц. Тогда d2 ≈ 2∙ 10-30СГС. Предположим, что такой же порядок (или мень­ше) дипольного момента сохраняется и в радиочастотном диапазоне, где ω ≈ 1010 Гц. В этом случае среднее время жизни атома оказывается очень большим: τ ≈ 104 c, а вероятность спонтанного перехода Amn = 10-4 c. Это значит, что в радиочастотном диапазоне спон­танное излучение не имеет большого значения.

Вероятность найдена в дипольном приближении. Отноше­ние интенсивности электрического квадрупольного излучения к интен­сивности электрического дипольного излучения пропорционально r0/λ. В оптическом диапазоне это отношение находится в пределах 10-6 – 10-8. Интенсивность излучения связана согласно с вероятностью спонтанного перехода: . Поэтому, если для возбужденных состояний атома возможны электрические дипольные переходы, то именно они имеют максимальную вероятность, а квадрупольные и магнито–дипольные переходы маловероятны: их вероятность примерно в 105 раз меньше вероятности электрических дипольных переходов. Если же они происходят, то интенсивность соответствующих спектральных линий оказывается гораздо слабее интенсивности при электрических дипольных переходах. Тип мультипольного излучения различают по его угловой зависимости. Интенсивность в случае электрического дипольного излучения зависит от угла наблюдения θ по закону J1 = a1 sin2θ, а при квадрупольном излучении интенсивность изменяется по закону

J2 = a2 sin22θ

Здесь a1, a2 – некоторые постоянные.