Политех в Сети

Сайт для Учебы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОЙ ПЛОТНОСТИ АТОМА ВОДОРОДА

Рейтинг пользователей: / 1
ХудшийЛучший 

Цель работы: рассчитать распределение радиальной электронной плотности вероятности в различных состояниях для атома водорода.

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

К началу 20-х годов нашего века в физике микромира накопи­лось много фактов и явлений, которые нельзя было объяснить с помощью законов классической физики. К атомным явлениям был не­обходим более общий подход, который и был развит в 1925-26 го­дах усилиями Э. Шредингера, В. Гейзенберга, М. Борна и другими при создании квантовой механики. Существует несколько вариантов квантовомеханического описания микрообъектов, однако наибольшее распространение получила так называемая волновая механика Шредингера, которая отличается относительной простотой и нагляд­ностью по сравнению с другими разновидностями квантовой механики.

1. Состояние некоторой частицы в квантовой (волновой) меха­нике задается так называемой Волновой функцией , которая может быть как действительной, так и комплексной[5]. Согласно М. Борну, квадрат модуля волновой функции определяет вероятность Того, что частица будет обнаружена в пределах объема:

(1)

Или, другими словами, дает плотность вероятности (вероят­ность, отнесенную к единице объема) нахождения частицы в данном месте пространства, т. е.

(2)

Интеграл от выражения (1), взятый по всему пространству, должен быть равен единице:

(3)

Действительно, этот интеграл дает вероятность того, что частица находится в одной из точек бесконечного пространства, т. е. веро­ятность достоверного события, которая равна единице. Условие (3) называется Условием нормировки.

2. Вид волновой функции получается из решения уравнения Шредингера, которое выглядит следующим образом:

(4)

Здесь – масса частицы, – постоянная Планка, – потенциальная энергия частицы, – оператор Лапласа:

Для нахождения волновой функции частицы необходимо записать вид функции для данной конкретной задачи и решить уравнение (4) относительно . Иначе говоря, вид -функ­ции определяется функцией , т. е., в конечном счете, характером сил, действующих на частицу.

Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики в такой же степени, как 2-й закон Ньютона является основ­ным уравнением классической механики. Уравнение Шредингера не мо­жет быть выведено из других соотношений и его следует рассматри­вать как исходное основное положение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия самым точ­ным образом согласуются с опытными фактами. По словам М. Борна "...нельзя вывести уравнение Шредингера строго логически; фор­мальные шаги, ведущие к нему, являются, в сущности, лишь остро­умными догадками".

3. Если силовое поле, в котором движется частица, стационар­но, т. е. если потенциальная энергия , а, следовательно, и полная энергия частицы явно не зависят от времени, а явля­ются функциями только координат: , то решение Уравнения Шредингера (4) можно представить в виде двух сомножителей, один из которых зависит только от координат, другой - только от времени:

(5)

Где – полная энергия частицы.

Действительно, подставив (5) в (4), получим:

Сократив на общий множитель , придем к дифференциальному уравнению, определяющему функцию :

(6)

Уравнение (6) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.

4. Следует отметить, что для любой стационарной задачи, когда , в принципе можно записать и решить также и временное уравнение Шредингера (4). В этом случае следует под­становкой (5) разделить переменные в (4) и решением уравнения (6) найти пространственную часть волновой функции ; полная волновая функция получается умножением на временной множитель .

Иначе говоря, в случае стационарной задачи решение уравне­ния (6), зависящее только от координат можно просто домножить на временной множитель; результат умножения также будет решением задачи.

5. Поскольку, волновая функция, с одной стороны, имеет вероятностный смысл, а, с другой стороны, должна решать уравне­ние Шредингера, т. е. дифференциальное уравнение 2-го порядка, то на нее накладываются определенные, так называемые Стандартные условия:

  • Волновая функция должна быть конечна, непрерывна, однозначна;
  • Производные , , должны быть непрерыв­ны;
  • Волновая функция должна быть квадратично интегрируема, т. е. интеграл должен быть конечным.

6. В большинстве случаев имеют дело со стационарным урав­нением Шредингера (6). Структура этого уравнения такова, что оно имеет решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых значениях (т. е. энергии частицы), а лишь при некото­рых избранных значениях. Каждому из этих значений могут соответ­ствовать одна (вырождение отсутствует) или некоторое количество K волновых функций (K – кратное "вырождение").

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ АТОМА ВОДОРОДА

Атом водорода представляет собой систему, состоящую из элек­трона, который обращается в кулоновском поле ядра (протона). Потенциальная энергия такой системы не зависит от времени и равна:

.

Эту величину следует подставить в стационарное уравнение Шредингера (6) и решить его с учетом стандартных условий, накла­дываемых на волновую функцию. Так как силовое поле, создаваемое ядром, сферически симметрично, то решать эту задачу удобнее в сферических координатах . Результат решения сводится к следующему. Уравнение решается только при определенных, образующих дискретный ряд, значениях параметра :

 

(7)

Где M и E – масса и заряд электрона, N = 1,2,3....

Эти значения и являются возможными (разрешенными) значениями энергии атома водорода. Возможные волновые функции электрона в атоме водорода могут быть записаны в виде произведения трех составляющих, каждая из которых зависит от одной из координат сферической системы

(8)

Где – так называемый первый боровский радиус, равный

.

Уравнение Шредингера решается функциями (8) лишь при определенных значениях чисел N, L, M, которые взаимосвязаны следующим образом:

(9)

Значения коэффициентов и в выражении (8) находятся для каждого состояния исходя из условия нормировки (3), которое в сферических координатах распадается на три условия:

(10)

Возьмем, например, . Энергия атома в этом случае минимальна (основное состояние) и равна

эВ.

Остальные два квантовых числа L и M могут иметь только нуле­вые значения и энергии соответствует только одна волновая функция (вырождение отсутствует).

При квантовое число L может принимать значения 0 и 1, причем при , а при . В конечном счете значению соответствуют четыре различных состояния, описываемые волновыми функциями и каждому из них соответствует одна и та же энергия (четырех­кратное вырождение). Схематично:

Аналогично, при возможны 9 состояний, описываемых волновыми функциями:

И во всех этих состояниях атом обладает одной и той же энергией (девятикратное вырождение).

Рассмотрим конкретный вид нескольких первых волновых функций.

1. . Подставляя эти значения в (8), получим:

 

(11)

Применение условий нормировки дает:

Подставляя эти значения в (11), получим волновую функцию основного (невозбужденного) состояния атома водорода

 

(12)

Так как эта функция не зависит от углов и (сферически симметрична), то вероятность обнаружить электрон на данном рас­стоянии от, ядра будет одинакова по всем направлениям. Най­дем вероятность нахождения электрона в пределах элементарного слоя, ограниченного сферами радиусами и (рис.1).

Р и с. 1

Объем этого слоя и соответствующая вероятность, согласно (1) и (12), запишется:

Введем радиальную плотность вероятности следующим образом:

(13)

Графически эта функция изображается кривой, приведенной на рис. 2. Максимум кривой при свидетельствует о том, что для атома водорода, находящегося в основном состоянии, наиболее вероятное удаление электрона от ядра соответствует первому боровскому радиусу.

2. При для волновой функции, согласно (8) при учете (10) можно получить

r

r(R)

Р и с. 2

Эта функция также сферически симметрична, поэтому и здесь естес­твенно ввести радиальную плотность вероятности, которая запишет­ся следующим образом

(14)

3. При волновая функция имеет вид:

(15)

4. При

(16)

5. При

Если вероятность нахождения электрона в сферическом слое толщиной , удаленном на расстоянии От ядра, равна , то величина, введенная как называется радиальной плотностью вероятности. Если зависимость задана графически, то величина определяется как площадь прямоугольника с основа­нием и высотой , восстановленного на расстоянии от начала координат (площадь заштрихованного прямоугольника).


ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

В данной работе необходимо рассчитать и построить графики зависимостей и . Расчеты проводятся на микрокалькуляторе "Электроника МК-46".

1. Зависимость рассчитывается по формуле (13). Для расчета необходимо:

А) Включить калькулятор.

Б) Набрать программу № I. (Программа прилагается).

В) Набрать значение аргумента R и нажать клавишу СП. Через 10-15 секунд на табло появится значение функции ρ. Перед каждым набором аргумента необходимо последовательно нажать клавиши В/О и СХ.

Г) Значения ρ необходимо рассчитывать для значений от 0 до 2 Å через каждые 0,1 Å.

2. Зависимость рассчитывается по формуле (14). Для стирания предыдущей программы следует выключить калькулятор, после чего необходимо выполнить следующие операции:

А) Включить калькулятор.

Б) Набрать программу № 2. (Программа прилагается).

В) Набрать значение аргумента R и нажать клавишу СП. Через 10-15 секунд на табло появится значение функции ρ. Перед каждым набором аргумента необходимо последовательно нажать клавиши В/О и СХ.

Г) Значения ρ необходимо рассчитывать для значений через каждые 0,1 Å, для через 0,25 Å и для – через 0,5 Å.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Перечислите стандартные условия, накладываемые на волновую функцию. Откуда эти условия возникают?

2. В чем состоит физический смысл распределения плотности в электронном облаке?

3. Что определяет квадрат модуля волновой функции?

4. Что характеризуют квантовые числа: главное, орбитальное и магнитное? Какие значения они могут принимать?

5. Какова кратность вырождения уровней энергии атома водорода?

6. Каков квантовомеханический смысл первого боровского радиуса?

7. Каковы правила квантования орбитального механического и собственного механического моментов импульса электрона? Их проекций на направление внешнего магнитного поля?

8. Почему атом водорода может иметь одну и ту же энергию, находясь в различных состояниях?