Политех в Сети

Сайт для Учебы

Динамика электронов в кристаллической решетке

Рейтинг пользователей: / 2
ХудшийЛучший 

Волновое число K связано с импульсом электрона P равенством

. Заменив в соотношении неопределенностей импульс через волновое число, получим соотношение неопределенности для K И X:

.

Из этого соотношения следует, что при точно определенном K положение электрона в кристалле будет совершенно неопределенным. Для того чтобы можно было изучать динамику электрона в кристалле, необходимо располагать выражениями для его скорости и ускорения. О скорости же можно говорить лишь в том случае, если электрон будет хотя бы приближенно локализован в пространстве.

Положим ΔK отличным от нуля. Тогда электрон будет локализован в пределах области ΔX~1/Δk. Согласно принципу суперпозиции пси-функция электрона может быть представлена в виде суммы плоских волн вида , значения волновых чисел которых заключены в пределах ΔK. Если ΔK невелико, суперпозиция плоских волн образует волновой пакет. Максимум амплитуды результирующей волны перемещается с групповой скоростью

.

Наиболее вероятное местонахождение электрона совпадает с центром группы волн. Следовательно, представляет собой скорость электрона в кристалле.

Воспользовавшись соотношением , заменим в частоту через энергию. В результате получим, что

.

Выясним, как будет себя вести электрон под действием наложенного на кристалл внешнего электрического поля . В этом случае, кроме сил создаваемых полем решетки, на электрон будет действовать сила , модуль которой равен EEВн. За время Dt эта сила совершает над электроном работу . Подстановка выражения для дает

.

Эта работа идет на приращение энергии электрона в кристалле: DA=DE. Заменив в DA на DE и приняв во внимание, что , придем к соотношению

.

Отсюда вытекает, что

.

Продифференцировав выражение по T, найдем ускорение электрона в кристалле:

.

Приняв во внимание, получим

.

Напишем эту формулу следующим образом:

.

Из вытекает, что ускорение электрона в кристалле пропорционально внешней силе EEВн. Этот результат является нетривиальным, поскольку ускорение должно быть пропорциональным сумме сил EEВн и FКр и только лишь своеобразие силы FКр приводит к тому, что при пропорциональности ускорения сумме сил EEВн и FКр имеет место также его пропорциональность слагаемому EEВн.

Сопоставляя с уравнением второго закона Ньютона

,

Приходим к выводу, что выражение

.

Формально играет по отношению к внешней силе роль массы, в связи с чем величину называют Эффективной массой электрона в кристалле.

Эффективная масса M* может сильно отличаться от фактической массы электрона M, в частности она может принимать отрицательные значения. Это обусловлено тем обстоятельством, что в действительности уравнение второго закона Ньютона имеет вид

,

Где - сила, обусловленная действием на электрон поля решетки. Сопоставление с уравнением

Наглядно показывает, что M* может существенно отличаться от M. Несмотря на это, именно значение M*определяет характер движения электрона в решетке под действием силы EEВн. Введение эффективной массы позволяет, абстрагируясь от взаимодействия электронов с решеткой, определять характер движения электрона под действием внешнего поля. Приписав электрону массу M*, мы можем исследовать поведение электрона под действием силы EEВн, считая его свободным. Из сказанного вытекает, что соотношения, полученные в приближении свободных электронов, оказываются справедливыми для электрона, движущегося в периодическом поле, если в них заменить истинную массу M эффективной массой M*.

В частности, выражение в случае периодического поля имеет вид

Действительно, двукратное дифференцирование по K дает

,

Что согласуется с определением M* (см. ).

Итак, воздействие решетки на движение электрона можно учесть заменив в уравнении движения, включающем только внешнюю силу EEВн, истинную массу M эффективной массой M*.

Исследуем зависимость эффективной массы M* от "местоположения" электрона внутри разрешенной энергетической зоны. Вблизи дна зоны (см. точки A и A¢ на рис.9) ход кривой E(K) мало отличается от хода кривой для свободных электронов. Соответственно M* » M.

В точке перегиба (точка B на рис.9) равно нулю. Следо­вательно, M* обращается в бесконечность. Это означает, что внеш­нее поле не может изменить скорость электрона, находящегося в состоянии с энергией EB.

Вблизи потолка разрешенной зоны (точка C на рис.9) производная <0 (С ростом K Уменьшается). В соответствии с этим эффективная масса M* электронов, занимающих уровни вблизи потолка зоны, оказывается отрицательной. Фактически это означает, что под совместным действием сил EEВн и FКр электрон, находящийся в состоянии с энергией EC получает ускорение, противоположное по направлению внешней силе EEВн.