Политех в Сети

Сайт для Учебы

Волновая функция свободной частицы

Рейтинг пользователей: / 0
ХудшийЛучший 

В предыдущем параграфе говорилось о том, что в микромире можно определить лишь вероятность значений тех физических величин, которые мы до сих пор употребляли для описания движения макроскопических тел (координат, импульсов, энергии и т. д.). В частности, вероятность найти частицу в данной области пространства пропорциональна квадрату амплитуды волны, свя­занной с частицей. Математическое выражение, описывающее распростра­нение какой-либо волны в пространстве, носит название волновой функ­ции. Таким образом, для описания движения частиц нужно уметь нахо­дить их волновые функции в различных физических условиях.

Для величин, которые меняются непрерывным образом в простран­стве с течением времени (именно такими величинами являются волны, точнее волновые функции, описывающие эти волны), можно, пользуясь физическими законами, найти дифференциальные уравнения, которые содержат производные по времени и координатам. Мы будем искать по­добное уравнение для волновых функций частиц, основываясь на том, что световые (электромагнитные) волны и волны, связанные с части­цами, должны иметь некоторое сходство. Поэтому сначала мы обратим­ся к волновым уравнениям для электромагнитных волн.

Из уравнений Максвелла при некоторых добавочных предположениях можно получить для напряженностей электрического и магнит­ного полей (в пустоте) волновые уравнения

Где С – скорость света.

Решением этих уравнений является, в частности, плоская моно­хроматическая электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль оси Ох, в которой векторы напряженностей и перпендикулярны друг другу и направлению распространения. Зависимости и от коор­динаты Х и времени T (волновые функции) определяются выражениями

Где Т – период колебаний, а λ – длина волны.

Так как выражения (2.3) и (2.4) имеют одинаковую структуру, то нам достаточно будет рассмотреть лишь одно из них, например, выражение (2.3). Учитывая, что период связи с частотой ν соот­ношением и что, согласно формулам и , перепишем выражение (2.3) в виде

Где для краткости обозначено .

Естественно считать, что свободной частице, которая движется равномерно и прямолинейно и имеет при этом постоянные импульс Р и энергию Е, соответствует также плоская монохроматическая вол­на. Волновую функцию Ψ, описывающую такую волны, мы запишем в несколько более общем, по сравнению с выражением (2.5) для плос­кой световой волны, комплексном виде

Здесь P – импульс частицы, направленный не по оси ОX, а в произ­вольном направлении, R0 – расстояние поверхности равной фазы от начала координат (поверхность равной фазы - плоскость, перпендику­лярная направлению распространения волны, а, следовательно, и им­пульса), A – амплитуда волны.

Согласно правилам действий с комплексными числами, выражение (2.6) можно представить в виде

Который будет являться обобщением формулы (2.5).

Комплексную волновую функцию мы взяли, во-первых, потому, что в ряде случаев математические действия при этом оказываются намного легче. Во-вторых, для волн, связанных с частицами, как мы уже знаем, физический смысл имеет лишь квадрат амплитуды волны, сама же волно­вая функция является промежуточной, вспомогательной величиной, и на­личие в ней мнимой части не имеет существенного значения. Наконец, как мы уже говорили, правильность выбора вида функции доказывается тем, что следствия квантовой механики при употреблении комплексных волновых функций подтверждаются опытом.

описание: рисунок1

Рис. 2.1

Преобразуем функцию (2.6) так, чтобы в нее явно входили координаты той точки пространства, в ко­торой мы интересуемся величиной волновой функции. Возьмем на некоторой поверхнос­ти равной фазы (плоскость ABCD На рис. 2.1) произвольную точку G с координата­ми . Проведем в эту точку из начала координат вектор , проекции которого на координатные оси равны . Опустим из начала координат на плоскость ABCD перпендикуляр OF, длина которого равна R0, а направление совпадает с направлением распространения волны и, следовательно, с направлением импульса частицы (проекции им­пульса на координатные оси ). Из треугольника FOG найдем , где θ – угол между векторами и . Таким образом, величина представляет собой скалярное произве­дение векторов и . Согласно правилам действий с векторами, это скалярное произведение можно выразить через проекции векторов:

.

Подставив это в выражение (2.6), получим волновую функцию свободной частицы в виде