Политех в Сети

Сайт для Учебы

8. Понижение порядка однородного линейного уравнения

Рейтинг пользователей: / 0
ХудшийЛучший 

Знание одного частного решения уравнения L[y]=0 позволяет понизить порядок уравнения на единицу.

y1 – частное решение уравнения L[y]=0.

Введём новую неизвестную функцию U по формуле:

(1)

(2)

……

Подставляя формулы (1), (2) в уравнение L[y]=0, получим:

(3)

(4)

Коэффициенты этого уравнения непрерывны в интервале (a, b), за исключением точек, где у1 обращается в нуль.

Решая уравнение (4), находим ФСР – U1, U2, …, Un.

Тогда уравнение L[y]=0 имеет решения

, , , … , (5)

Покажем, что решения (5) являются ФСР для уравнения L[y]=0. Предположим, что решения (5) зависимы. Тогда существует соотношение:

A1+a2+…+ a3=0 (6)

Сокращая на у1 и дифференцируя, получим:

A1 U1 + a2 U2 + …+ an Un=0 (7)

Что противоречит линейной независимости U1, U2, …, Un.

Если известно k линейно независимых частных решений уравнения L[y]=0, то порядок этого уравнения можно понизить k на единиц.