Политех в Сети

Сайт для Учебы

5. Фундаментальная система решений (ФСР)

Рейтинг пользователей: / 0
ХудшийЛучший 

Совокупность любых n решений уравнения L[y] = 0, определённых и линейно независимых в интервале (a, b) называется фундаментальной системой решений в этом интервале. Чтобы система n решений была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы W(x) этих решений был отличен от нуля хоть в одной точке интервала непрерывности коэффициентов уравнения L[y] = 0. Из определения ФСР следует, что фундаментальных систем может быть бесконечное множество.

Очевидно, что все решения ненулевые. Покажем, что ФСР уравнения L[y] = 0 всегда существует.

Теорема.

Если коэффициенты уравнения L[y] = 0 непрерывны в интервале (a, b), то существует ФСР, определённых в этом интервале.

Доказательство.

Возьмём И построим решение у1 с начальными условиями при х = х0 . Такое решение всегда существует и оно единственное на основании теоремы Пикара.

Аналогично построим у2 с начальными условиями при х=х0.

И так далее: при х=х0.

Вронскиан построенных решений в точке х=х0

Следовательно, y1,..., yn является ФСР на интервале (a, b).

Замечание. Построенная таким образом ФСР называется нормированной в точке х=х0.

Существует только одна ФСР, нормированная в точке х =.