Политех в Сети

Сайт для Учебы

39. Вариация и её свойства

Рейтинг пользователей: / 1
ХудшийЛучший 

Определение 2:

Приращением или вариацией аргумента Функционала называется разность между двумя функциями , где меняется произвольно в некотором классе функций.

Определение 3:

Функционал непрерывен при в смысле близости Ого порядка, если такое, что имеет место неравенство

при

,

,

.

Функция берётся из класса функций, на котором функционал определён.

Определение 4:

Функционал называется линейным , если выполняются следующие условия:

1. , где Постоянная.

2

Например, .

Определение 5:

Если приращение функционала представимо в таком виде, где Линейный по отношению к функционал и при , то линейная по отношению к Часть приращения функционала, т. е. называется вариацией функционала и обозначается .

Итак, вариация функционала – это главная, линейная по отношению к Часть приращения функционала.

При исследовании функционалов, вариация играет ту же роль, что и производная при исследовании функций.

Вообще говоря, упрощения исследования функционалов дают почти эквивалентное определение вариации функционала.

по при , т. е. .

Действительно, производная от по при равна:

.

Так как , а

Если существует вариация в смысле главной части приращения функционала, то существует и вариация в смысле производной по параметру при . Второе определение несколько шире первого, так как не всегда можно выделить главную линейную часть приращения функционала.

Определение 6:

Функционал достигает на кривой максимума(минимума), если значения функционала на любой близкой от кривой, больше(не меньше), чем , т. е. .

Если () и только при , то говорят, что на кривой достигается строгий максимум (минимум).

Теорема:

Если функционал , имеющий вариацию, достигает максимума или минимума при , где Внутренняя точка область определения функционала, то при , .

При одинаковых и функционал является функцией от , которая при по предположению имеет максимум или минимум. Тогда или

,

В определении максимума или минимума надо указывать, какого порядка близость имеется в виду. Если функционал достигает максимума или минимума по отношению ко всем кривым, для которых мал, то максимум или минимум называется сильным.

Если же лишь по отношению к кривым, близким к в смысле близости первого порядка, т. е. ещё мал и , то максимум или минимум называется слабым.

Замечание:

Если на кривой достигается экстремум, то не только ,

Но и , где Любое семейство допустимых кривых, причём при и функция должна приращаться в и . Эта производная, конечно, не совпадает с вариацией функционала, но обращается в нуль одновременно с , на кривых, реализующих экстремум функционала, это будет использовано в дальнейшем при исследовании функционалов на экстремум.