Политех в Сети

Сайт для Учебы

29. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных данных и от параметров

Рейтинг пользователей: / 3
ХудшийЛучший 

Если правая часть дифференциального уравнения (1) непрерывна по λ при и удовлетворяет условиям теоремы Пикара, причём постоянная Липшица не зависит от λ, то решение y = y(x, λ) (2) уравнения (1), удовлетворяющего условию непрерывно зависит от λ.

Доказательство.

Аналогично доказательству теоремы Пикара. (3), при .

Тем же методом можно показать непрерывную зависимость решения уравнения от начальных значений . При этом только уменьшается h

Вопрос о непрерывной зависимости решения от начальных данных сводится к вопросу о непрерывной зависимости решения от параметра. Сделаем замену: (4), .

Тогда уравнение , переходит в уравнение (5), к которому уже можно применить теорему о непрерывной зависимости решения от параметров (f удовлетворяет условиям теоремы Пикара).

Непрерывная зависимость от начальных данных, т. е. , где (или ) означает, что для Что из неравенств Следует, что

С возрастанием b число , как правило, уменьшается.

Особый интерес вызывает решение, которое мало изменяется при произвольном, но малом изменении начальных значений для сколь угодно больших значений аргумента. Такое решение называется устойчивым.