Политех в Сети

Сайт для Учебы

13.Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов

Рейтинг пользователей: / 2
ХудшийЛучший 

1.

(14), где Rm(x) полином степени m с вещественными или комплексными коэффициентами, а – постоянное вещественное или комплексное или равное нулю число.

Случай 1.1:

P(a)≠0

В этом случае частное решение y1 уравнения L[y] = 0 (1) следует искать в виде:

, где (15)

,

Где (16)

Распишем левую часть (16), используя свойства оператора L подробнее

(17)

Сокращая на и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем:

:

:

… (18)

:

Так как P(a) ≠ 0, все qi находятся из (18) последовательно единственным образом.

Случай 1.2:

«а» является корнем характеристического многочлена кратности k, т. е. P (a) = 0, P/ (a) = 0, …, P( k-1) (a) = 0, P( k) (a) ≠ 0.

Тогда частное решение ищется в виде (19)

Доказательство аналогично случаю 1.

2.

(20)

- заданные полиномы от степени равной или меньшей m, причём хоть один из них имеет степень m.

Заменяя , (21)

2. сводится к случаю 1.

Используем результаты случая 1.

Случай 2.1:

Число не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение имеет вид:

(22)

Где –полиномы степени m с неопределёнными коэффициентами, которые определяются единственным образом.

Случай 2.2:

Число является корнем характеристического уравнения кратности k (k≥1). Тогда частное решение имеет вид:

(23)

Где –полиномы степени m с неопределёнными коэффициентами, которые определяются единственным образом.

Пример 1:

,

– характеристическое уравнение,

– общее решение однородного уравнения.

Случай?.?:

А =1 не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение имеет вид:

,

Подставляя значения и В уравнение и сокращая на e x, получаем: .

Откуда . .

–общее решение данного уравнения.

Пример :

,

,

,

– общее решение однородного уравнения.

1) не является корнем характеристического уравнения.

Тогда

2) , является корнем характеристического уравнения.

Тогда

Подставляя значения и В уравнение, получаем:

,

, такой член называется вековым.