Политех в Сети

Сайт для Учебы

12. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Рейтинг пользователей: / 0
ХудшийЛучший 

, (1)

A1, a2, …, an – постоянные вещевтвенные числа, Непрерывная в интервале (a, b).

Рассмотрим сначала соответствующие уравнению (1) уравнение (2),

(2)

Будем искать уравнение (2), следуя Эйлеру, в виде

(3),

(4)

Подставляя (4) в уравнение (2), получим

или (4)

Таким образом получаем

(5)

– называется характеристическим многочленом или характеристическим уравнением.

Случай 1:

Все корни характеристического многочлена l1, l2, …, ln различны и вещественны.

Каждому корню li соответствует частное решение

(i=1..n)

– линейно независимая система функций, т. е. ФСР.

(6) – общее решение уравнения .

Пример:

,

,

– общее решение данного уравнения.

Случай 2:

Среди корней характеристического уравнения есть комплексный корень

Пусть, тогда ,

L3, l4, …, ln – различные и вещественные корни.

(формула Эйлера)

– комплексная функция действительной переменной. Тогда –

, – также

Являются решениями уравнения.

Очевидно, что сопряжённый корень не порождает новых решений.

Таким образом, ФСР в данном случае

,,

И общее решение имеет вид:

Пример:

,

– характеристическое уравнение,

,

, ,

– общее решение.

Случай 3:

Среди корней характеристического уравнения есть кратный действительный корень.

Пусть – корень кратности k.

P(λ1) = 0, P/ (λ1)= 0, …, P( k-1) (λ1)=0, P( k) (λ1)≠0.

Запишем полученное ранее выражение (4) и продифференцируем его по λ m раз, используя для правой части формулу Ньютона-Лейбница, а для левой свойства оператора L.

. (9)

(10)

Подставим в уравнение (10) λ = λ1 и используем, что

P(λ1) = 0, P/ (λ1)= 0, …, P( k-1) (λ1)=0.

Получим, что

– решение уравнения (10) при m = 0, 1,…, (k-1).

,,…,,,… – ФСР.

(11)

(11) – общее решение уравнения (2).

Пример:

,

– характеристическое уравнение,

,, ,

– общее решение.

Случай 4:

Характеристическое уравнение имеет комплексный корень кратности k. Тогда оно имеет и сопряжённый комплексный корень. Таким образом, для построения ФСР нужно 2k линейно независимых решений, соответствующих этим кратным сопряжённым комплексным корням.

Отделяя вещественные и мнимые части комплексных решений

, , … , , получим

,, … ,

(12)

,, … , .

Таким образом, каждой паре сопряжённых комплексных чисел кратности k соответствует 2k линейно независимых решений вида (12).

И общее решение имеет вид:

(13)

Пример:

, – комплексные решения.

Отделяя вещественные и мнимые части комплексных решений, получим:

– ФСР

– общее решение данного уравнения.