Политех в Сети

Сайт для Учебы

11. Метод Коши

Рейтинг пользователей: / 0
ХудшийЛучший 

Укажем ещё один способ построения частного решения уравнения (1).

Пусть {zi} i=1,2..n – ФСР уравнения L[y]=0 (2)

(3) – общее решение уравнения (2).

Построим решение уравнения (2), удовлетворяющее следующим начальным условиям :

Z = 0, z/ = 0, …, z( n-2) =0, z( n-1) =1 при x = a, где "aÎ(a, b), xÎ(a, b).

Это решение (5)

Причём , , …, , ,

Где , (6)

Докажем, что функция

, (7)

Где " x0 Î (a, b).

Является частным решением уравнения (1) с нулевыми начальными условиями, т. е. Y = 0, Y/ = 0, …, Y( n-1) =0, при x = x0.

Найдём значения производных функции Y(x):

, первое слагаемое = 0,

, первое слагаемое = 0, …… (8)

, первое слагаемое = 0,

и ,

Подставим выражение (8) в уравнение (1):

+……

…+ (9)

Или

,

Получим тождество для " x, x0 Î(a, b).

Итак, , x Î(a, b).

(7) –называется формулой Коши для неодноролного уравнения.

Очевидно, что Y(x0) = 0, Y/ (x0)= 0, …, Y( n-1) (x0)=0.

Таким образом .

Пример:

– общее решение однородного уравнения.

Найдём j (x, a)

Z=0, z/=1 при x = a.

Þ

– oбщeе решение неоднородного уравнения.