Политех в Сети

Сайт для Учебы

10. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Рейтинг пользователей: / 1
ХудшийЛучший 

Теорема:

Общее решение неоднородного уравнения (1) можно найти в квадратурах, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (2)

 Будем искать общее решение уравнения (1) в виде (3), где {zi} i=1,2..n – ФСР уравнения (2).

Найдём производные выражения (3), подчиняя их n-1 условиям:

, второе слагаемое равно нулю,

, второе слагаемое равно нулю,

…… (4)

, второе слагаемое равно нулю,

Подставляя (3) и (4) в уравнение (1), получим:

(5)

Так как , то окончательно получим

(6)

Итак, для определения Сi(x) получаем следующую систему из n дифференциальных уравнений:

,

,

…… (7)

Система (7) является линейной неоднородной относительно Сi / (x) с определителем равным W(x)¹0 в интервале (a, b).

Решая систему (4) по правилу Крамера получаем:

, i=1,2…n; (8)

Где Wn i – алгебраические дополнения к элементам n–ой строки определителя W(x).

Из , i=1,2…n; (9)

Где Ci– произвольные постоянные, а " x0 Î (a, b).

Подставляем (9) в выражение (3), получим:

, (10)

Пример:

– общее решение однородного уравнения.

Решение неоднородного уравнения ищем в виде:

Составим систему для нахождения и :

Þ ,

.

.